Bài tập 20, § 1

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Đồng nhất $\mathbf{R}^*_+\times \mathbf{S}_n$ và $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}$ bởi ánh xạ $(t, z)\mapsto tz$. Gọi $\omega$ là độ đo duy nhất trên mặt cầu $\mathbf{S}_n\subset \mathbf{R}^{n+1}$ bất biến dưới $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})$ sao cho độ đo $t^ndt\otimes \mu$ được đồng nhất với độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}($xem INT, VII, p. 116, bài tập 8). Gọi $\mu$ là độ đo trên $\mathbf{R}^{n+1}$ là ảnh của độ đo $\omega$ bởi đơn ánh của $\mathbf{S}_n$ vào $\mathbf{R}^{n+1}$.

a) Ta có $\mu(\mathbf{S}_n) = 2\pi^{(n+1)/2}\Gamma (\frac{n+1}{2})^{-1}($xem INT, V, §8, n$^o7)$.

b) Với mọi số thực $k\geqslant 0$, định nghĩa hàm $J_k:\mathbf{R}_+\rightarrow \mathbf{C}$ bởi

với $t\in \mathbf{R}_+$ (« hàm Bessel loại thứ nhất »). Với mọi $x\in \mathbf{R}^{n+1}$, ta có

trong đó $\|x\|$ là chuẩn Euclid. c) Nếu $k\in \mathbf{N}$, ta có

$J_k(t) =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}$ cos($t$ sin($u$)$-ku$)$du$

với mọi $t\in \mathbf{R}_+$.

d) Nếu $n$ chẵn, hãy chứng minh rằng $\mathscr{F}(\mu)(x)$ là một đa thức theo $\|x\|^{\pm 1/2}$, cos(2$\pi \|x\|$) và sin(2$\pi \|x\|$); với $n= 2$, ta có

$\mathscr{F}(\mu)(x) =$ sin(2$2\pi \pi \|x\|\|x\|$).

e) Gọi $g$ là một hàm liên tục có giá compact trong $\mathbf{R}_+^*$. Đặt $f(x) =$ $g(\|x\|^2)\|x\|^{1-n/2}$ với mọi $x\in \mathbf{R}^n$. Khi đó ta có $\widehat{f}(y) =h(\|y\|^2)\|y\|^{1-n/2}$ với $y\in \mathbf{R}^n$, trong đó

với mọi $s\in \mathbf{R}_+$ (« biến đổi Hankel »).