Exercice 22, § 1

Soit $p$ un nombre premier. Soit K une extension finie du corps $\mathbf{Q}_p$ des nombres $p$-adiques ; c’est un corps localement compact non discret. Soit $t: K\rightarrow \mathbf{Q}_p$ l’application trace. Notons $\lambda :\mathbf{Q}_p\rightarrow \mathbf{Q}$ l’application définie dans la prop. 20 de II, p. 237.

a) Le groupe additif de K est en dualité avec lui-même par le biais de l’application $(x, y)\mapsto$ exp(2$i\pi \lambda (t(xy))$). On identifie K et son dual par cette application.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $\mathscr{S}(K^n)$ l’espace vectoriel complexe des fonctions de $K^n$ dans $\mathbf{C}$ qui sont localement constantes et à support compact. b) La restriction de la transformation de Fourier à $\mathscr{S}(K^n)$ est un automorphisme dont la réciproque est la restriction de la cotransformation de Fourier.

c) Pour tout réel $p\in [1,+\infty [$, l’espace $\mathscr{S}(K^n)$ est dense dans $L^p(K^n)$.