Bài tập 22, § 1

Cho $p$ là một số nguyên tố. Cho K là một mở rộng hữu hạn của trường $\mathbf{Q}_p$ các số $p$-adic; nó là một trường không rời rạc địa phương compact. Cho $t: K\rightarrow \mathbf{Q}_p$ là ánh xạ vết. Cho $\lambda :\mathbf{Q}_p\rightarrow \mathbf{Q}$ là ánh xạ được xác định trong Mệnh đề 20 của II, p. 237.

a) Nhóm cộng của K đối ngẫu với chính nó nhờ ánh xạ $(x, y)\mapsto$ exp(2$i\pi \lambda (t(xy))$). Ta đồng nhất K và đối ngẫu của nó bởi ánh xạ này.

Với mỗi số nguyên $n\geqslant 1$, ta ký hiệu $\mathscr{S}(K^n)$ là không gian vectơ phức của các hàm từ $K^n$ vào $\mathbf{C}$ là hằng địa phương và có giá compact. b) Hạn chế của biến đổi Fourier vào $\mathscr{S}(K^n)$ là một tự đẳng cấu mà nghịch đảo của nó là hạn chế của biến đổi đối Fourier.

c) Với mỗi số thực $p\in [1,+\infty [$, không gian $\mathscr{S}(K^n)$ là trù mật trong $L^p(K^n)$.