Exercice 23, § 1

Soient $p\geqslant 3$ un nombre premier et $k\geqslant 1$ un entier. On note $G =\mathbf{F}^k_p$. On munit G de la mesure de Haar de masse totale 1, et on identifie $\widehat{G}$ et G par le biais de l’application qui à $n= (n_1, . . . , n_k)\in G$ associe le caractère

$k$

$e_n:x\mapsto$ exp$(\frac{2i\pi}{p}\sum n_jx_j)$.

$j=1$ Pour des fonctions $f_1,f_2,f_3$ de G dans $\mathbf{C}$, on note

$x\in Gh\in G$

On note $\|f\|$ la norme de $f$ dans $L^2(G)$.

a) On a

$x\in Gx\in G$

et

$x\in G$

b) On a

et

c) Soit $f: G\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction telle que $\sum f(x) = 0$. Il existe un hyperplan affine $H\subset G$ tel que

(montrer qu’il existe des éléments $t\in G$ et $\theta \in \mathbf{R}$ tels que la partie réelle de $p^{-k}\sum_xf(x)(e_t(x)$ exp($i\theta$ ) $+ 1$) soit égale à $\|\widehat{f}\|_{\infty})$.

d) Soit $A\subset G$ ne contenant pas de progression arithmétique de longueur 3, c’est-à-dire qu’il n’existe pas $x\in A$ et $h\in G-\{0\}$ tels que $x+h$ et $x+ 2h$ appartiennent aussi à A. Montrer qu’il existe un hyperplan affine $H\subset G$ tel que

Card(ACard(H)$\cap H$)$\geqslant$ Card(A)Card(G) $+\frac{1}{2}(($ Card(A)Card(G)$)^2-\frac{1}{p^k})$

(appliquer les questions précédentes à $f=\varphi_A- |A|/p^k$, où $\varphi_A$ est la fonction caractéristique de A).

e) Soit $A\subset G$ ne contenant pas de progression arithmétique de longueur 3. Montrer que Card(A) $\leqslant 3p^k/k$ (« théorème de Roth pour $\mathbf{F}^k_p$ »).