Bài tập 23, § 1

Cho $p\geqslant 3$ là một số nguyên tố và $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi $G =\mathbf{F}^k_p$. Ta trang bị cho G độ đo Haar có khối lượng toàn phần bằng 1, và ta đồng nhất $\widehat{G}$ và G nhờ ánh xạ gán cho $n= (n_1, . . . , n_k)\in G$ đặc trưng

$k$

$e_n:x\mapsto$ exp$(\frac{2i\pi}{p}\sum n_jx_j)$.

$j=1$ Với các hàm $f_1,f_2,f_3$ từ G vào $\mathbf{C}$, ta ký hiệu bởi

$x\in Gh\in G$

Ta ký hiệu bởi $\|f\|$ chuẩn của $f$ trong $L^2(G)$.

a) Ta có

$x\in Gx\in G$

và

$x\in G$

b) Ta có

và

c) Cho $f: G\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm sao cho $\sum f(x) = 0$. Tồn tại một siêu phẳng affine $H\subset G$ sao cho

(bây giờ chứng minh rằng tồn tại các phần tử $t\in G$ và $\theta \in \mathbf{R}$ sao cho phần thực của $p^{-k}\sum_xf(x)(e_t(x)$ exp($i\theta$ ) $+ 1$) bằng $\|\widehat{f}\|_{\infty})$.

d) Cho $A\subset G$ không chứa cấp số cộng có độ dài 3, nghĩa là không tồn tại $x\in A$ và $h\in G-\{0\}$ sao cho $x+h$ và $x+ 2h$ cũng thuộc A. Chứng minh rằng tồn tại một siêu phẳng affine $H\subset G$ sao cho

Card(ACard(H)$\cap H$)$\geqslant$ Card(A)Card(G) $+\frac{1}{2}(($ Card(A)Card(G)$)^2-\frac{1}{p^k})$

(áp dụng các câu hỏi trước cho $f=\varphi_A- |A|/p^k$, trong đó $\varphi_A$ là hàm đặc số của A).

e) Cho $A\subset G$ không chứa cấp số cộng có độ dài 3. Chứng minh rằng Card(A) $\leqslant 3p^k/k$ (« Định lý Roth cho $\mathbf{F}^k_p$ »).