Exercice 25, § 1

On note $\mu_G$ la mesure de Haar donnée sur G. Soit $\mu$ une mesure complexe sur G.

a) L’image de la transformée de Fourier de $\mu$ est finie si et seulement si $\mu$ est combinaison linéaire de mesures idempotentes, c’est-à-dire de mesures $\nu$ telles que $\nu *\nu =\nu$.

b) Le support de $\mathscr{F}_G(\mu)$ est fini si et seulement si $\mu$ est une combinaison linéaire finie de mesures $\widehat{x}\mu_G$, où $\widehat{x}\in \widehat{G}$.

c) On note $A_\mu$ l’ensemble des mesures de la forme $\widehat{x} \mu$ pour $\widehat{x}\in \widehat{G}$. L’ensemble des mesures $\nu \in A_\mu$ telles que $\nu (G)\not= 0$ est fini si et seulement si il existe un sous-groupe fermé H de G, un ensemble fini K, des caractères $\widehat{x}_k$ pour $k\in K$ et des nombres complexes $t_k$ pour $k\in K$ tels que

où $i$ désigne l’inclusion canonique de H dans G.