Bài tập 25, § 1

Ta ký hiệu $\mu_G$ là độ đo Haar đã cho trên G. Gọi $\mu$ là một độ đo phức trên G.

a) Ảnh của biến đổi Fourier của $\mu$ là hữu hạn khi và chỉ khi $\mu$ là một tổ hợp tuyến tính của các độ đo lũy đẳng, nghĩa là, của các độ đo $\nu$ sao cho $\nu *\nu =\nu$.

b) Giá của $\mathscr{F}_G(\mu)$ là hữu hạn khi và chỉ khi $\mu$ là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các độ đo $\widehat{x}\mu_G$, trong đó $\widehat{x}\in \widehat{G}$.

c) Ta ký hiệu $A_\mu$ là tập hợp các độ đo có dạng $\widehat{x} \mu$ với $\widehat{x}\in \widehat{G}$. Tập hợp các độ đo $\nu \in A_\mu$ sao cho $\nu (G)\not= 0$ là hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại một nhóm con đóng H của G, một tập hợp hữu hạn K, các ký tự $\widehat{x}_k$ với $k\in K$ và các số phức $t_k$ với $k\in K$ sao cho

trong đó $i$ ký hiệu phép nhúng chính tắc của H vào G.