Exercice 26, § 1

Pour tout groupe compact commutatif H, on note $\mu_H$ la mesure de Haar normalisée sur H.

On suppose G compact. On note $E_G$ l’ensemble des mesures complexes $\mu$ sur G telles que la transformée de Fourier de $\mu$ soit à valeurs entières. C’est un sous-groupe commutatif de $\mathscr{M}^1(G)$ qui contient la mesure de Haar $\mu_G$. On note $F_G$ le sous-groupe de $E_G$ engendré par les mesures $\widehat{x} i_H(\mu_H)$, où H parcourt les sous-groupes fermés de G $(i_H$ désignant l’inclusion canonique de H dans G), et où $\widehat{x}$ parcourt $\widehat{G}$.

Le but de cet exercice est de démontrer que $E_G= F_G$ (« théorème des idempotents de Cohen »).

a) Soit $\varphi : G_1\rightarrow G_2$ un morphisme de groupes compacts commutatifs. L’application $\mu\mapsto \varphi (\mu)$ est un homomorphisme de groupes de $E_{G_1}$ dans $E_{G_2}$.

b) Pour tout $\mu\in E_G$ et tout $\widehat{x}\in \widehat{G}$, on a $\widehat{x}\mu_G\in E_G$.

Soit $\mu$ une mesure complexe sur G. On note $\theta$ la fonction sur G telle que $\mu=\theta |\mu|$. On note $A_\mu\subset \mathscr{M}^1(G)$ l’ensemble des mesures de la forme $\widehat{x} \mu$. Soit $\nu$ un point adhérent à $A_\mu$ dans $\mathscr{M}^1(G)$.

c) Si $\nu$ n’appartient pas à $A_\mu$, alors $\nu$ est singulière par rapport à $\mu_G$.

d) Soit $\varepsilon >0$. Soient $f\in \mathscr{C}(G)$ de norme $\leqslant 1$ telle que $\nu (f)>(1-\varepsilon )\|\mu\|$ et $\widehat{x}\in \widehat{G}$ tel que $\mathscr{R}(\mu(\widehat{x} f))>(1-\varepsilon )\|\mu\|$. Montrer que

e) On suppose que $\mu\in E_G$. Montrer que $\|\nu \|\leqslant \|\mu\|-1/(36\|\mu\|)$. (Appliquer la question précédente à deux caractères $\widehat{x}_1$ et $\widehat{x}_2$ tels que $\widehat{x}_1\mu\not=\widehat{x}_2\mu$, et noter que $\|\widehat{x}_1\mu-\widehat{x}_2\mu\|\geqslant 1$.) f) Conclure que $E_G= F_G$ et plus précisément que toute mesure $\mu$ dans $E_G$ s’écrit

où l’ensemble K est fini, $n_k\in \mathbf{Z},\widehat{x}_k\in \widehat{G}$, et les mesures $i(\mu_{H_k})$ sont mutuellement étrangères. (Soit $\mu\in E_G$; montrer qu’il existe une mesure $\nu \not= 0$ dans l’adhérence de $\{\nu \in A_\mu|\nu (G)\not= 0\}$ dont la norme est minimale ; montrer alors en utilisant e) que $\{\widehat{x}\in \widehat{G}|\nu (\widehat{x})\not= 0\}$ est fini, et appliquer l’exercice précédent.)