Bài tập 26, § 1

Với mọi nhóm giao hoán compact H, ta ký hiệu bởi $\mu_H$ độ đo Haar chuẩn hóa trên H.

Giả sử G compact. Ta ký hiệu bởi $E_G$ tập các độ đo phức $\mu$ trên G sao cho biến đổi Fourier của $\mu$ có các giá trị nguyên. Đó là một nhóm con giao hoán của $\mathscr{M}^1(G)$ chứa độ đo Haar $\mu_G$. Ta ký hiệu bởi $F_G$ nhóm con của $E_G$ sinh bởi các độ đo $\widehat{x} i_H(\mu_H)$, trong đó H chạy qua các nhóm con đóng của G $(i_H$ ký hiệu phép nhúng chính tắc của H vào G), và trong đó $\widehat{x}$ chạy qua $\widehat{G}$.

Mục đích của bài tập này là chứng minh rằng $E_G= F_G$ (« định lý lũy đẳng của Cohen »).

a) Cho $\varphi : G_1\rightarrow G_2$ là một cấu xạ của các nhóm giao hoán compact. Ánh xạ $\mu\mapsto \varphi (\mu)$ là một đồng cấu nhóm từ $E_{G_1}$ vào $E_{G_2}$.

b) Với mọi $\mu\in E_G$ và mọi $\widehat{x}\in \widehat{G}$, ta có $\widehat{x}\mu_G\in E_G$.

Cho $\mu$ là một độ đo phức trên G. Ta ký hiệu bởi $\theta$ hàm trên G sao cho $\mu=\theta |\mu|$. Ta ký hiệu bởi $A_\mu\subset \mathscr{M}^1(G)$ tập các độ đo có dạng $\widehat{x} \mu$. Cho $\nu$ là một điểm bám của $A_\mu$ trong $\mathscr{M}^1(G)$.

c) Nếu $\nu$ không thuộc $A_\mu$, thì $\nu$ kỳ dị đối với $\mu_G$.

d) Cho $\varepsilon >0$. Cho $f\in \mathscr{C}(G)$ có chuẩn $\leqslant 1$ sao cho $\nu (f)>(1-\varepsilon )\|\mu\|$ và $\widehat{x}\in \widehat{G}$ sao cho $\mathscr{R}(\mu(\widehat{x} f))>(1-\varepsilon )\|\mu\|$. Chứng minh rằng

e) Giả sử $\mu\in E_G$. Chứng minh rằng $\|\nu \|\leqslant \|\mu\|-1/(36\|\mu\|)$. (Áp dụng câu hỏi trước cho hai nhân vật $\widehat{x}_1$ và $\widehat{x}_2$ sao cho $\widehat{x}_1\mu\not=\widehat{x}_2\mu$, và chú ý rằng $\|\widehat{x}_1\mu-\widehat{x}_2\mu\|\geqslant 1$.) f) Kết luận rằng $E_G= F_G$ và chính xác hơn là mọi độ đo $\mu$ trong $E_G$ đều được viết

trong đó tập K là hữu hạn, $n_k\in \mathbf{Z},\widehat{x}_k\in \widehat{G}$, và các độ đo $i(\mu_{H_k})$ đôi một kỳ dị. (Cho $\mu\in E_G$; chứng minh rằng tồn tại một độ đo $\nu \not= 0$ trong bao đóng của $\{\nu \in A_\mu|\nu (G)\not= 0\}$ có chuẩn cực tiểu; rồi chứng minh bằng cách dùng e) rằng $\{\widehat{x}\in \widehat{G}|\nu (\widehat{x})\not= 0\}$ là hữu hạn, và áp dụng bài tập trước.)