Exercice 28, § 1

a) Soit $\delta >0$ un nombre réel. Il n’existe pas de fonction $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ intégrable, non nulle et à support compact, telle que $\widehat{f}(y) =$ O(exp($-\delta |y|$)) quand $|y| \rightarrow +\infty$. (En particulier, il n’existe pas de telle fonction telle que $\widehat{f}$ soit aussi à support compact.)

b) Soit $(\varrho_n)_{n\geqslant 1}$ une suite sommable de nombres réels strictement positifs. Le produit

$g(x) =\prod$ sin($\varrho_n\varrho \overset{n}{x}x$),

$n\geqslant 1$

défini comme égal à 1 pour $x= 0$, converge absolument et uniformément sur tout compact de $\mathbf{R}$. Il définit une fonction continue, non nulle, paire, telle que $g\in L^1(\mathbf{R})$.

c) Soit $\varrho$ la somme de la série $\sum\varrho_n$. Le support de la transformée de Fourier de $g$ est contenu dans $[-\varrho , \varrho ]$.

d) Soit $r >0$ un nombre réel. Soit $\delta :\mathbf{R}_+\rightarrow \mathbf{R}_+^*$ une fonction décroissante telle que $\delta (y)\rightarrow 0$ quand $y\rightarrow +\infty$, telle que $y\mapsto \delta (y)/y$ est intégrable sur $[1,+\infty [$ par rapport à la mesure de Lebesgue, et telle que $y\delta (y)\rightarrow +\infty$ quand $y\rightarrow +\infty$. Il existe une fonction continue $f\in L^1(\mathbf{R})$ à support compact contenu dans $[-r, r]$ telle que

$\widehat{f}(y) =$ O(exp($-\delta (|y|)|y|$)) quand $|y| \rightarrow +\infty$. (Montrer d’abord qu’il existe une suite sommable décroissante $(\varrho_n)$ de nombres réels strictement positifs telle que $\varrho \leqslant r$ et $\varrho_n\geqslant e\delta (n)n^{-1}$ pour tout $n$ assez grand.)