Bài tập 28, § 1

a) Cho $\delta >0$ là một số thực. Không tồn tại một hàm khả tích, khác không $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ có giá compact, sao cho $\widehat{f}(y) =$ O(exp($-\delta |y|$)) khi $|y| \rightarrow +\infty$. (Đặc biệt, không tồn tại một hàm như vậy sao cho $\widehat{f}$ cũng có giá compact.)

b) Cho $(\varrho_n)_{n\geqslant 1}$ là một dãy khả tổng của các số thực dương ngặt. Tích

$g(x) =\prod$ sin($\varrho_n\varrho \overset{n}{x}x$),

$n\geqslant 1$

được quy ước bằng 1 với $x= 0$, hội tụ tuyệt đối và đều trên mọi tập con compact của $\mathbf{R}$. Nó xác định một hàm liên tục, khác không, chẵn, sao cho $g\in L^1(\mathbf{R})$.

c) Cho $\varrho$ là tổng của chuỗi $\sum\varrho_n$. Giá của biến đổi Fourier của $g$ được chứa trong $[-\varrho , \varrho ]$.

d) Cho $r >0$ là một số thực. Cho $\delta :\mathbf{R}_+\rightarrow \mathbf{R}_+^*$ là một hàm giảm sao cho $\delta (y)\rightarrow 0$ khi $y\rightarrow +\infty$, sao cho $y\mapsto \delta (y)/y$ là khả tích trên $[1,+\infty [$ theo độ đo Lebesgue, và sao cho $y\delta (y)\rightarrow +\infty$ khi $y\rightarrow +\infty$. Tồn tại một hàm liên tục $f\in L^1(\mathbf{R})$ có giá compact được chứa trong $[-r, r]$ sao cho

$\widehat{f}(y) =$ O(exp($-\delta (|y|)|y|$)) khi $|y| \rightarrow +\infty$. (Trước hết hãy chỉ ra rằng tồn tại một dãy giảm khả tổng $(\varrho_n)$ gồm các số thực dương ngặt sao cho $\varrho \leqslant r$ và $\varrho_n\geqslant e\delta (n)n^{-1}$ với mọi $n$ đủ lớn.)