Exercice 29, § 1

Soit $f\in L^2(\mathbf{R})$ tel que

a) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, la fonction $g_n$ définie par

$g_n(z) =(\int_{\mathbf{R}}f(x)x^n$ exp($-zx^2/2$)$dx)^2$

est holomorphe dans l’ouvert $U =\{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z)>-1\}$ de $\mathbf{C}$.

b) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, la fonction $h_n$ définie par

$h_n(z) =\frac{(-1)^n}{n}(\int\widehat{f}(y)y^n$ exp($-y^2/(2z)$)$dy)^2$

est holomorphe dans l’ouvert $V =\{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z^{-1})>-1\}=\{z\in \mathbf{C}|$ $|z+ 1/2|>1/2\}$ de $\mathbf{C}$.

c) Il existe une fonction holomorphe $k_0$ dans $U\cup V =\mathbf{C}-\{-1\}$ telle que $k_0|U =g_0$ et $k_0|V =h_0$.

d) La fonction $k_0$ est nulle. (Démontrer qu’il existe $c\in \mathbf{C}$ tel que $|k_0(z)|\leqslant$ $c/|z+ 1|$ pour tout $z\in \mathbf{C}-\{-1\}$ et appliquer le théorème de Liouville à $z\mapsto (z+ 1)k_0(z)$.)

e) Montrer par récurrence sur $n\in \mathbf{N}$ qu’il existe une fonction holomorphe $k_n$ dans $U\cup V =\mathbf{C}-\{-1\}$ telle que $k_n|U =g_n$ et $k_n|V =h_n$, puis que $k_n= 0$. f) On a $f= 0$.

g) Soient $a,b >0$ tels que $ab\geqslant 1$. Si $f\in L^2(\mathbf{R})$ vérifie

alors $f= 0$ (« Principe d’incertitude de Hardy »).