Bài tập 29, § 1

Cho $f\in L^2(\mathbf{R})$ sao cho

a) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, hàm $g_n$ được xác định bởi

$g_n(z) =(\int_{\mathbf{R}}f(x)x^n$ exp($-zx^2/2$)$dx)^2$

là chỉnh hình trong tập mở $U =\{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z)>-1\}$ của $\mathbf{C}$.

b) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, hàm $h_n$ được xác định bởi

$h_n(z) =\frac{(-1)^n}{n}(\int\widehat{f}(y)y^n$ exp($-y^2/(2z)$)$dy)^2$

là chỉnh hình trong tập mở $V =\{z\in \mathbf{C}|\mathscr{R}(z^{-1})>-1\}=\{z\in \mathbf{C}|$ $|z+ 1/2|>1/2\}$ của $\mathbf{C}$.

c) Tồn tại một hàm chỉnh hình $k_0$ trong $U\cup V =\mathbf{C}-\{-1\}$ sao cho $k_0|U =g_0$ và $k_0|V =h_0$.

d) Hàm $k_0$ bằng không. (Bài tập chứng minh rằng tồn tại $c\in \mathbf{C}$ sao cho $|k_0(z)|\leqslant$ $c/|z+ 1|$ với mọi $z\in \mathbf{C}-\{-1\}$ và áp dụng định lý Liouville cho $z\mapsto (z+ 1)k_0(z)$.)

e) Bây giờ chứng minh bằng quy nạp theo $n\in \mathbf{N}$ rằng tồn tại một hàm chỉnh hình $k_n$ trong $U\cup V =\mathbf{C}-\{-1\}$ sao cho $k_n|U =g_n$ và $k_n|V =h_n$, sau đó chứng minh rằng $k_n= 0$. f) Ta có $f= 0$.

g) Cho $a,b >0$ sao cho $ab\geqslant 1$. Nếu $f\in L^2(\mathbf{R})$ thỏa mãn

thì $f= 0$ (“nguyên lý bất định Hardy”).