Exercice 3, § 1

a) Les fonctions $t\mapsto t^ne^{-\pi t^2}$ pour $n$ entier $\geqslant 0$ forment un ensemble total dans $L^2(\mathbf{R})$. (Soit $f\in L^2(\mathbf{R})$ un élément orthogonal aux $t^ne^{-\pi t^2}$. Pour $z\in \mathbf{C}$, poser $F(z) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\pi t^2}e^{2i\pi tz}dt$, et montrer que F est une fonction entière dont les dérivées en 0 sont toutes nulles. En déduire que la transformée de Fourier de la fonction $t\mapsto f(t)e^{-\pi t^2}$ sur $\mathbf{R}$ est nulle.)

b) Pour $k\in \mathbf{N}$, on a $\partial_t^k(e^{-2\pi t^2}) = P_k(t)e^{-2\pi t^2}$, où $P_k$ est un polynôme de degré $k$, de coefficient dominant $(-4\pi )^k$.

c) Soient $k\in \mathbf{N},P\in \mathbf{C}[t]$ non nul et $\alpha$ le coefficient dominant de P. Alors

$\int_{-2\pi t^2}\{0$ si deg(P) $< k$

$_{\mathbf{R}}(-1)^kk$!2$^{-1/2}\alpha$ si deg(P) $=k$.

d) Pour $k\in \mathbf{N}$ et $t\in \mathbf{R}$, on pose :

$\mathscr{H}_k(t) = (-1)^k2\surd \overset{1/4k-}{\pi}k^k$! $e^{\pi t^2}\partial^k_t(e^{-2\pi t^2})$

(« fonctions d’Hermite »). La famille $(\mathscr{H}_k)$ est une base orthonormale de l’espace $L^2(\mathbf{R})$. (Utiliser a), b), c)).

e) On a $\mathscr{F}(\mathscr{H}_k) = (-i)^k\mathscr{H}_k$.