Bài tập 3, § 1

a) Các hàm $t\mapsto t^ne^{-\pi t^2}$ với $n$ số nguyên $\geqslant 0$ tạo thành một tập hợp toàn phần trong $L^2(\mathbf{R})$. (Cho $f\in L^2(\mathbf{R})$ là một phần tử trực giao với các $t^ne^{-\pi t^2}$. Với $z\in \mathbf{C}$, đặt $F(z) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\pi t^2}e^{2i\pi tz}dt$, và bây giờ chứng minh rằng F là một hàm nguyên mà các đạo hàm tại 0 của nó đều bằng không. Suy ra rằng biến đổi Fourier của hàm $t\mapsto f(t)e^{-\pi t^2}$ trên $\mathbf{R}$ là không.)

b) Với $k\in \mathbf{N}$, ta có $\partial_t^k(e^{-2\pi t^2}) = P_k(t)e^{-2\pi t^2}$, trong đó $P_k$ là một đa thức bậc $k$, với hệ số đứng đầu là $(-4\pi )^k$.

c) Cho $k\in \mathbf{N},P\in \mathbf{C}[t]$ khác không và $\alpha$ là hệ số đứng đầu của P. Khi đó

$\int_{-2\pi t^2}\{0$ if deg(P) $< k$

$_{\mathbf{R}}(-1)^kk$!2$^{-1/2}\alpha$ if deg(P) $=k$.

d) Với $k\in \mathbf{N}$ và $t\in \mathbf{R}$, đặt :

$\mathscr{H}_k(t) = (-1)^k2\surd \overset{1/4k-}{\pi}k^k$! $e^{\pi t^2}\partial^k_t(e^{-2\pi t^2})$

(“Các hàm Hermite”). Họ $(\mathscr{H}_k)$ là một cơ sở trực chuẩn của không gian $L^2(\mathbf{R})$. (Sử dụng a), b), c)).

e) Ta có $\mathscr{F}(\mathscr{H}_k) = (-i)^k\mathscr{H}_k$.