Exercice 30, § 1

a) Pour tout $x_0\in \mathbf{T}$, il existe $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T})$ tel que la série de Fourier de $f$ en $x_0$ ne converge pas symétriquement vers $f(x_0)$. (Soient $s_n(f)$ les sommes partielles symétriques de la série de Fourier de $f$; considérer les applications linéaires $f\mapsto s_n(f)(x_0)$ et appliquer le théorème de Banach-Steinhaus.)

b) Il existe $f\in L^1(\mathbf{T})$ tel que la série de Fourier de $f$ ne converge pas symétriquement vers $f$ dans $L^1(\mathbf{T})$.

c) La transformation de Fourier n’est pas surjective de $L^1(\mathbf{T})$ dans l’espace de Banach des suites $(c_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ tendant vers 0 à l’infini. (Appliquer le cor. 1 de EVT, I, p. 19.)

d) Supposons que $f\in \mathscr{C}^1(\mathbf{T})$. La suite $s_n(f)$ converge vers $f$ dans $\mathscr{C}(\mathbf{T})$.