Bài tập 30, § 1

a) Với mọi $x_0\in \mathbf{T}$, tồn tại $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T})$ sao cho chuỗi Fourier của $f$ tại $x_0$ không hội tụ đối xứng về $f(x_0)$. (Cho $s_n(f)$ là các tổng riêng đối xứng của chuỗi Fourier của $f$; xét các ánh xạ tuyến tính $f\mapsto s_n(f)(x_0)$ và áp dụng định lý Banach-Steinhaus.)

b) Tồn tại $f\in L^1(\mathbf{T})$ sao cho chuỗi Fourier của $f$ không hội tụ đối xứng về $f$ trong $L^1(\mathbf{T})$.

c) Biến đổi Fourier không là toàn ánh từ $L^1(\mathbf{T})$ vào không gian Banach của các dãy $(c_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ tiến tới 0 ở vô cực. (Áp dụng Hệ quả 1 của EVT, I, p. 19.)

d) Giả sử rằng $f\in \mathscr{C}^1(\mathbf{T})$. Dãy $s_n(f)$ hội tụ về $f$ trong $\mathscr{C}(\mathbf{T})$.