Exercice 31, § 1

Soit $r\geqslant 1$ un entier. On note $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ l’espace vectoriel complexe des fonctions indéfiniment dérivables sur $\mathbf{T}^r$, et $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ l’espace vectoriel complexe des fonctions $f:\mathbf{Z}^r\rightarrow \mathbf{C}$ telles que, pour tout réel A $>0$, on a $f(n) = O(\|n\|^{-A})$ quand $\|n\| \rightarrow +\infty$.

a) Muni des semi-normes

$p_A(f) =$ sup$_{n\in\mathbf{Z}^r}\|n\|^A|f(n)|$,

l’espace $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ est un espace de Fréchet.

b) Pour tout réel $p\in [1,+\infty [$, l’espace $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ (resp. l’espace $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$) est dense dans $L^p(\mathbf{Z}^r)$ (resp. dans $L^p(\mathbf{T}^r)$).

c) La restriction de la transformation de Fourier de $\mathbf{T}^r$ à $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ est un isomorphisme de $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ dans $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$, dont l’inverse est la restriction de la cotransformation de Fourier.

d) L’espace vectoriel topologique $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ est isomorphe à $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, en particulier c’est un espace de Montel. (Utiliser l’exercice 3.)