Bài tập 31, § 1

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta ký hiệu $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ là không gian vectơ phức của các hàm khả vi vô hạn trên $\mathbf{T}^r$, và $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ là không gian vectơ phức của các hàm $f:\mathbf{Z}^r\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho, với mọi A thực $>0$, ta có $f(n) = O(\|n\|^{-A})$ khi $\|n\| \rightarrow +\infty$.

a) Được trang bị các nửa chuẩn

$p_A(f) =$ sup$_{n\in\mathbf{Z}^r}\|n\|^A|f(n)|$,

không gian $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ là một không gian Fréchet.

b) Với mọi $p\in [1,+\infty [$ thực, không gian $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ (tương ứng không gian $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$) là trù mật trong $L^p(\mathbf{Z}^r)$ (tương ứng trong $L^p(\mathbf{T}^r)$).

c) Hạn chế của biến đổi Fourier của $\mathbf{T}^r$ vào $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ là một đẳng cấu từ $\mathscr{S}(\mathbf{T}^r)$ lên $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$, có nghịch đảo là hạn chế của biến đổi Fourier nghịch đảo.

d) Không gian vectơ tôpô $\mathscr{S}(\mathbf{Z}^r)$ đẳng cấu với $\mathscr{S}(\mathbf{R}^n)$, đặc biệt nó là một không gian Montel. (Dùng bài tập 3.)