Exercice 33, § 1

Pour tout entier $r\geqslant 1$, on note $V_r=$ det(($x^j_i$)$_{1\leqslant i\leqslant r}$)$\in \mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$ le déterminant de Vandermonde (A, III, p. 99, exemple $1$)$.^{0\leqslant j<r}$

a) Soient $f_1, . . . ,f_r$ des fonctions indéfiniment différentiables sur $\mathbf{R}$. Pour tous nombres réels $x_1<\cdots < x_r$, il existe des nombres réels $(t_0, . . . , t_{r-1})$ dans $[x_1, x_r]$ tels que

det($f_i(x_j)$) $=$ 1!2! $\cdots 1(r-$ 1)! $V_r(x_1, . . . , x_r)$ det(($f_j^{(i)}(t_i)$)$_{01\leqslant\leqslant ij<r\leqslant r}$)

(cf. FVR, I, p. 48, exerc. 11).

b) Soient $r$ un entier positif et $m_1, . . . , m_r$ des nombres entiers positifs. Soit

$\Delta_r=$ det(($x_i^{m_j}$)$_{1\leqslant i,j\leqslant r}$)$\in \mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$.

Le polynôme $\Delta_r$ est divisible par $V_r$ dans $\mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$. On note $F_r= \Delta_r/V_r$. c) Soit $p$ un nombre premier. Supposons que

Soient $\xi_1,. . .,\xi_r$ des racines $p$-èmes de l’unité distinctes. On a

(« Théorème de Chebotarev » ; soit $\xi$ une racine primitive $p$-ème de l’unité ; on a $F_r(\xi_1, . . . , \xi_r) = P(\xi )$ où $P\in \mathbf{Z}[x]$ est de degré $\leqslant p-1$ ; d’après l’irréductibilité des polynômes cyclotomiques, la condition $F_r(\xi_1, . . . , \xi_r) = 0$ impliquerait que $F_r(1, . . . ,1)$ est divisible par $p$; en utilisant a) avec $x_i\rightarrow 1$, démontrer que ce n’est pas le cas.)

d) Soit $G =\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. Pour toute fonction $f\not= 0$ de G dans $\mathbf{C}$, on a

Card(Supp($f$)) $+$ Card(Supp($\widehat{f}$))$\geqslant p+ 1$.

e) Pour tous sous-ensembles non vides A et B dans G tels que

Card(A) + Card(B) $\geqslant p+ 1$,

il existe $f: G\rightarrow \mathbf{C}$ dont le support est A et telle que le support de $\widehat{f}$ est B. (Considérer d’abord le cas où Card(A) + Card(B) $=p+ 1$.)

f) Soient A et B des sous-ensembles quelconques de G. On a

Card(A $+ B$)$\geqslant$ inf(Card(A) + Card(B) $-1, p$)

(« théorème de Cauchy-Davenport » ; appliquer la question précédente à $(A,C)$ et à $(B,D)$, où C et D sont des sous-ensembles de cardinal respectivement $p+ 1-$ Card(A) et $p+ 1-$ Card(B), tels que $C\cap D$ a cardinal sup(Card(A) + Card(B) $-p,1$).)

g) Soit $(a_1, . . . , a_{2p-1})$ une famille d’éléments de $\mathbf{F}_p$. Il existe un sous-ensemble $I\subset \{1, . . . ,2p-1\}$ de cardinal $p$ tel que

Cette propriété est fausse en général pour une famille dans $\mathbf{F}^{2p-2}_p$. (Soient $0\leqslant b_1\leqslant \cdots \leqslant \cdots \leqslant b_{2p-1}< p$ des entiers dont les réductions modulo $p$ forment une permutation de $(a_1, . . . , a_{2p-1})$; traiter directement le cas où il existe $i$ tel que $a_i=a_{i+p-1}$, et appliquer la question précédente dans le cas contraire.)

h) Soit $k\geqslant 1$ un entier. Soit $\nu \geqslant 0$ l’entier tel que $k=p^{\nu}r$ où $p$ ne divise pas $r$. Notons $\gamma$ l’entier

$\{\nu + 1$ si $p\geqslant 3$

$\nu + 2$ sinon. Si $\ell \geqslant 4k$ est un entier, alors il existe des entiers $(n_1, . . . , n_{\ell})$ tels que $p$ ne divise pas tout les $n_i$ et tels que

$n^k_1+\cdots +n^k_{\ell}\equiv 0$ mod$. p^{\gamma}$.