Bài tập 33, § 1

Với mọi số nguyên $r\geqslant 1$, gọi $V_r=$ det(($x^j_i$)$_{1\leqslant i\leqslant r}$)$\in \mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$ là định thức Vandermonde (A, III, p. 99, ví dụ $1$)$.^{0\leqslant j<r}$

a) Cho $f_1, . . . ,f_r$ là các hàm khả vi vô hạn trên $\mathbf{R}$. Với mọi số thực $x_1<\cdots < x_r$, tồn tại các số thực $(t_0, . . . , t_{r-1})$ trong $[x_1, x_r]$ sao cho

det($f_i(x_j)$) $=$ 1!2! $\cdots 1(r-$ 1)! $V_r(x_1, . . . , x_r)$ det(($f_j^{(i)}(t_i)$)$_{01\leqslant\leqslant ij<r\leqslant r}$)

(xem FVR, I, p. 48, Bài tập 11).

b) Cho $r$ là một số nguyên dương và $m_1, . . . , m_r$ là các số nguyên dương. Đặt

$\Delta_r=$ det(($x_i^{m_j}$)$_{1\leqslant i,j\leqslant r}$)$\in \mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$.

Đa thức $\Delta_r$ chia hết cho $V_r$ trong $\mathbf{Z}[x_1, . . . , x_r]$. Gọi $F_r= \Delta_r/V_r$. c) Cho $p$ là một số nguyên tố. Giả sử rằng

Cho $\xi_1,. . .,\xi_r$ là các nghiệm bậc $p$ phân biệt của đơn vị. Ta có

(“định lý Chebotarev”; cho $\xi$ là một nghiệm nguyên thủy bậc $p$ của đơn vị; ta có $F_r(\xi_1, . . . , \xi_r) = P(\xi )$ trong đó $P\in \mathbf{Z}[x]$ có bậc $\leqslant p-1$; từ tính bất khả quy của các đa thức cyclotomic, điều kiện $F_r(\xi_1, . . . , \xi_r) = 0$ sẽ suy ra rằng $F_r(1, . . . ,1)$ chia hết cho $p$; dùng a) với $x_i\rightarrow 1$, chứng minh rằng đây không phải là trường hợp.)

d) Cho $G =\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. Với mọi hàm $f\not= 0$ từ G vào $\mathbf{C}$, ta có

Card(Supp($f$)) $+$ Card(Supp($\widehat{f}$))$\geqslant p+ 1$.

e) Với mọi tập con khác rỗng A và B của G sao cho

Card(A) + Card(B) $\geqslant p+ 1$,

tồn tại $f: G\rightarrow \mathbf{C}$ có giá là A và sao cho giá của $\widehat{f}$ là B. (Trước hết xét trường hợp Card(A) + Card(B) $=p+ 1$.)

f) Cho A và B là các tập con tùy ý của G. Ta có

Card(A $+ B$)$\geqslant$ inf(Card(A) + Card(B) $-1, p$)

(“định lý Cauchy-Davenport”; áp dụng câu hỏi trước cho $(A,C)$ và cho $(B,D)$, trong đó C và D là các tập con có lực lượng tương ứng là $p+ 1-$ Card(A) và $p+ 1-$ Card(B), sao cho $C\cap D$ có lực lượng sup(Card(A) + Card(B) $-p,1$).)

g) Cho $(a_1, . . . , a_{2p-1})$ là một họ các phần tử của $\mathbf{F}_p$. Tồn tại một tập con $I\subset \{1, . . . ,2p-1\}$ có lực lượng $p$ sao cho

Tính chất này nói chung là sai đối với một họ trong $\mathbf{F}^{2p-2}_p$. (Cho $0\leqslant b_1\leqslant \cdots \leqslant \cdots \leqslant b_{2p-1}< p$ là các số nguyên mà các phần dư của chúng modulo $p$ tạo thành một phép hoán vị của $(a_1, . . . , a_{2p-1})$; xét trực tiếp trường hợp tồn tại $i$ sao cho $a_i=a_{i+p-1}$, và áp dụng câu hỏi trước trong trường hợp ngược lại.)

h) Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Cho $\nu \geqslant 0$ là số nguyên sao cho $k=p^{\nu}r$ trong đó $p$ không chia hết cho $r$. Ta ký hiệu $\gamma$ là số nguyên

$\{\nu + 1$ nếu $p\geqslant 3$

$\nu + 2$ otherwise. Nếu $\ell \geqslant 4k$ là một số nguyên, thì tồn tại các số nguyên $(n_1, . . . , n_{\ell})$ sao cho $p$ không chia hết tất cả các $n_i$ và sao cho

$n^k_1+\cdots +n^k_{\ell}\equiv 0$ mod$. p^{\gamma}$.