Exercice 34, § 1

Pour tout groupe compact commutatif G, on note $\mu_G$ la mesure de Haar normalisée sur G.

a) Soit G un groupe compact commutatif. Soit $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de mesures sur G telles que $\nu_n(G) = 1$ pour tout $n$. Alors $(\nu_n)$ converge vaguement vers $\mu_G$ si et seulement si $\nu_n(\widehat{x})$ converge vers 0 pour tout caractère $\widehat{x}\not= 1$ de G (« critère d’équirépartition de Weyl »).

b) Soient $r\geqslant 1$ un entier et $x= (x_1, . . . , x_r)\in \mathbf{T}^r$. Pour $n\geqslant 0$, on note $\nu_n$ la mesure sur $\mathbf{T}^r$ telle que

$n-1$

1

$k=0$

pour $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T}^r)$. La suite $(\nu_n)$ converge vaguement vers la mesure de Haar normalisée $\mu_H$, où H est l’adhérence dans $\mathbf{T}^r$ de l’ensemble $\{kx|k\in \mathbf{Z}\}$. c) Soient $y_i$ des réels tels que $x_i$ est la classe de $y_i$. Si la famille $(1, y_1, . . . , y_n)$ est $\mathbf{Q}$-linéairement indépendante, alors on a $H =\mathbf{T}^r$. (« Théorème de Kronecker ».)

d) Soient P l’ensemble des nombres premiers et $G =\mathbf{U}^P$. Pour tout nombre réel $T>0$, soit $\lambda_T$ la mesure $T^{-1}\lambda$ sur $[0,T]$, où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$. Soit $\nu_T$ la mesure image de $\lambda_T$ par l’application continue $t\mapsto (p^{it})_{p\in P}$ de $[0,T]$ dans G. Quand $T\rightarrow +\infty$, la famille $(\nu_T)$ converge vaguement vers $\mu_G$.