Bài tập 34, § 1

Với mọi nhóm giao hoán compact G, ký hiệu $\mu_G$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên G.

a) Cho G là một nhóm giao hoán compact. Cho $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các độ đo trên G sao cho $\nu_n(G) = 1$ với mọi $n$. Khi đó $(\nu_n)$ hội tụ mơ hồ đến $\mu_G$ khi và chỉ khi $\nu_n(\widehat{x})$ hội tụ về 0 với mọi đặc trưng $\widehat{x}\not= 1$ của G («tiêu chuẩn phân bố đều Weyl»).

b) Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên và $x= (x_1, . . . , x_r)\in \mathbf{T}^r$. Với $n\geqslant 0$, ký hiệu $\nu_n$ là độ đo trên $\mathbf{T}^r$ sao cho

$n-1$

1

$k=0$

với $f\in \mathscr{C}(\mathbf{T}^r)$. Dãy $(\nu_n)$ hội tụ mơ hồ đến độ đo Haar chuẩn hóa $\mu_H$, trong đó H là bao đóng trong $\mathbf{T}^r$ của tập hợp $\{kx|k\in \mathbf{Z}\}$.

c) Cho $y_i$ là các số thực sao cho $x_i$ là lớp của $y_i$. Nếu họ $(1, y_1, . . . , y_n)$ là $\mathbf{Q}$-độc lập tuyến tính, thì ta có $H =\mathbf{T}^r$. («Định lý Kronecker».)

d) Cho P là tập hợp các số nguyên tố và $G =\mathbf{U}^P$. Với mọi số thực $T>0$, cho $\lambda_T$ là độ đo $T^{-1}\lambda$ trên $[0,T]$, trong đó $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$. Cho $\nu_T$ là độ đo ảnh của $\lambda_T$ qua ánh xạ liên tục $t\mapsto (p^{it})_{p\in P}$ từ $[0,T]$ vào G. Khi $T\rightarrow +\infty$, họ $(\nu_T)$ hội tụ mơ hồ đến $\mu_G$.