Exercice 35, § 1

a) Pour tout entier $N\geqslant 1$, toute famille $(a_n)_{1\leqslant n\leqslant N}$ de nombres complexes et tout entier $H\geqslant 1$, on a

$n=1|h|<H1\leqslant n\leqslant N$

(« inégalité de van der Corput »). (Poser $a_n= 0$ si $n$ n’est pas entre 1 et N; écrire $\sum_na_n=\sum_na_{n+h}$ pour $0\leqslant h <H$, sommer sur $h$, puis appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)

Notons $\pi :\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ la projection canonique. On dit qu’une suite $(x_n)$ de nombres réels est équirépartie modulo 1 si la suite $(\nu_n)$ de mesures sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ définie par

$n$

1

$k=1$

converge vaguement vers la mesure de Haar de masse totale 1 sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$. b) Si, pour tout entier $h\geqslant 1$, la suite $(x_{n+h}-x_n)_n$ est équirépartie modulo 1, alors $(x_n)$ est équirépartie modulo 1. (Utiliser l’exercice précédent et l’inégalité de van der Corput.)

c) Soient $d\geqslant 1$ un entier et $P =\alpha_dX^d+\cdots +\alpha_0\in \mathbf{R}[X]$ un polynôme tel que $\alpha_d\notin\mathbf{Q}$. Alors la suite $(P(n))$ est équirépartie modulo 1. (Raisonner par récurrence sur $d\geqslant 1$.)