Bài tập 35, § 1

a) Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, mọi họ $(a_n)_{1\leqslant n\leqslant N}$ các số phức và mọi số nguyên $H\geqslant 1$, ta có

$n=1|h|<H1\leqslant n\leqslant N$

(“bất đẳng thức van der Corput”). (Đặt $a_n= 0$ nếu $n$ không nằm giữa 1 và N; viết $\sum_na_n=\sum_na_{n+h}$ với $0\leqslant h <H$, lấy tổng theo $h$, rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.)

Cho $\pi :\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ là phép chiếu chính tắc. Ta nói rằng một dãy $(x_n)$ các số thực là phân bố đều modulo 1 nếu dãy $(\nu_n)$ các độ đo trên $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ xác định bởi

$n$

1

$k=1$

hội tụ mơ hồ về độ đo Haar có khối lượng toàn phần 1 trên $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$. b) Nếu, với mọi số nguyên $h\geqslant 1$, dãy $(x_{n+h}-x_n)_n$ là phân bố đều modulo 1, thì $(x_n)$ là phân bố đều modulo 1. (Sử dụng bài tập trước và bất đẳng thức van der Corput.)

c) Cho $d\geqslant 1$ là một số nguyên và cho $P =\alpha_dX^d+\cdots +\alpha_0\in \mathbf{R}[X]$ là một đa thức sao cho $\alpha_d\notin\mathbf{Q}$. Khi đó dãy $(P(n))$ là phân bố đều modulo 1. (Lập luận bằng quy nạp theo $d\geqslant 1$.)