Exercice 36, § 1

Soit $\sigma$ un nombre réel positif. On note $\mathscr{E}_{\sigma}$ l’espace vectoriel complexe des fonctions entières $f$ sur $\mathbf{C}$ telles que, pour tout nombre réel $\varepsilon >0$, on a

$|f(z)|= O(e^{2\pi(\sigma+\varepsilon)|z|})$, quand $|z| \rightarrow +\infty$.

a) Supposons $\sigma >0$. Soit $g\in L^2([-\sigma , \sigma ])$. La fonction

appartient à $\mathscr{E}_{\sigma}$. La restriction de $f$ à $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\mathbf{R})$.

Soit $f\in \mathscr{E}_{\sigma}$ telle que la restriction de $f$ à $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\mathbf{R})$. Soit $g\in L^2(\mathbf{R})$ la transformée de Fourier de la restriction de $f$ à $\mathbf{R}$. Le but de cet exercice est de démontrer que le support de $g$ est contenu dans $[-\sigma , \sigma ]$; d’après la question a), cela fournit une caractérisation de l’espace $\mathscr{E}_{\sigma}$ (« théorème de Paley-Wiener »).

b) Pour tout nombre réel $\theta$, la fonction

$h_{\theta}(z) =e^{-i\theta}\int_0^{+\infty}f(re^{-i\theta})$ exp($-2\pi zre^{-i\theta}$)$dr$

est holomorphe dans le demi-plan $H_{\theta}$ de $\mathbf{C}$ déterminé par l’inégalité

$\mathscr{R}(z)$ cos($\theta$ ) $+\mathscr{I}(z)$ sin($\theta$ )$> \sigma$.

c) Si $\theta_1$ et $\theta_2$ sont tels que $|\theta_1-\theta_2|< \pi$, alors $h_{\theta_1}|H_{\theta_1}\cap H_{\theta_2}=h_{\theta_2}|H_{\theta_2}\cap H_{\theta_1}$. (Appliquer la formule de Cauchy.)

d) La fonction $h_0$ (resp. $h_{\pi}$) est holomorphe dans l’ouvert des $z\in \mathbf{C}$ tels que $\mathscr{R}(z)>0$ (resp. $\mathscr{R}(z)<0$).

e) Soit $U =\mathbf{C}-i[-\sigma , \sigma ]$. Il existe une unique fonction holomorphe $h$ sur U telle que $h(z) =h_0(z)$ si $\mathscr{R}(z)>0$ et $h(z) =h_{\pi}(z)$ si $\mathscr{R}(z)<0$.

f) Quand $x\rightarrow 0$ par valeurs $>0$, les fonctions

convergent vers $g$ dans $L^2(\mathbf{R})$.

g) Conclure que $g$ est nulle presque partout en dehors de $[-\sigma , \sigma ]$.