Bài tập 36, § 1

Cho $\sigma$ là một số thực dương. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{E}_{\sigma}$ không gian vectơ phức của các hàm nguyên $f$ trên $\mathbf{C}$ sao cho, với mọi số thực $\varepsilon >0$, ta có

$|f(z)|= O(e^{2\pi(\sigma+\varepsilon)|z|})$, khi $|z| \rightarrow +\infty$.

a) Giả sử $\sigma >0$. Cho $g\in L^2([-\sigma , \sigma ])$. Hàm

thuộc về $\mathscr{E}_{\sigma}$. Hạn chế của $f$ trên $\mathbf{R}$ thuộc về $L^2(\mathbf{R})$.

Cho $f\in \mathscr{E}_{\sigma}$ sao cho hạn chế của $f$ trên $\mathbf{R}$ thuộc về $L^2(\mathbf{R})$. Cho $g\in L^2(\mathbf{R})$ là biến đổi Fourier của hạn chế của $f$ trên $\mathbf{R}$. Mục đích của bài tập này là chứng minh rằng giá của $g$ được chứa trong $[-\sigma , \sigma ]$; theo câu hỏi a), điều này cung cấp một đặc trưng hóa của không gian $\mathscr{E}_{\sigma}$ (« định lý Paley-Wiener »).

b) Với mọi số thực $\theta$, hàm

$h_{\theta}(z) =e^{-i\theta}\int_0^{+\infty}f(re^{-i\theta})$ exp($-2\pi zre^{-i\theta}$)$dr$

là chỉnh hình trong nửa mặt phẳng $H_{\theta}$ của $\mathbf{C}$ được xác định bởi bất đẳng thức

$\mathscr{R}(z)$ cos($\theta$ ) $+\mathscr{I}(z)$ sin($\theta$ )$> \sigma$.

c) Nếu $\theta_1$ và $\theta_2$ sao cho $|\theta_1-\theta_2|< \pi$, thì $h_{\theta_1}|H_{\theta_1}\cap H_{\theta_2}=h_{\theta_2}|H_{\theta_2}\cap H_{\theta_1}$. (Áp dụng công thức Cauchy.)

d) Hàm $h_0$ (tương ứng $h_{\pi}$) là chỉnh hình trong tập mở của các $z\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(z)>0$ (tương ứng $\mathscr{R}(z)<0$).

e) Cho $U =\mathbf{C}-i[-\sigma , \sigma ]$. Tồn tại duy nhất một hàm chỉnh hình $h$ trên U sao cho $h(z) =h_0(z)$ nếu $\mathscr{R}(z)>0$ và $h(z) =h_{\pi}(z)$ nếu $\mathscr{R}(z)<0$.

f) Khi $x\rightarrow 0$ qua các giá trị $>0$, các hàm

hội tụ tới $g$ trong $L^2(\mathbf{R})$.

g) Kết luận rằng $g$ bằng không hầu khắp nơi bên ngoài $[-\sigma , \sigma ]$.