Exercice 38, § 1

Pour tout $n\in \mathbf{Z}$, on note $e_n$ le caractère $x\mapsto e^{2i\pi nx}$ de $\mathbf{T}$. On note P le sous-espace de $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ engendré par les $e_n$.

Soit $a= (a_h)_{h\in\mathbf{Z}}$ une famille de nombres complexes. La famille conjuguée-harmonique est la famille $\widetilde{a}= (-i$ s($h$)$a_h)_{h\in\mathbf{Z}}$, où s($h$) désigne la fonction signe.

Pour $f\in P$, on note $\widetilde{f}\in P$ la fonction sur $\mathbf{T}$ telle que $\mathscr{F}(\widetilde{f}) =\widetilde{\mathscr{F}}(f)$ (fonction conjuguée-harmonique de $f$).

a) Soit $f\in P$ telle que $\mathscr{F}(f)(0) = 0$ et telle que $f$ est à valeurs réelles. Pour tout entier $k\geqslant 1$, il existe une constante $C_k$, indépendante de $f$, telle que

(Observer que les coefficients de Fourier de $g=f+i\widetilde{f}$ sont supportés sur $\mathbf{N}^*$, écrire

et développer par la formule du binôme.)

b) Soit $1< p <+\infty$. L’application $f\mapsto \widetilde{f}$ de P dans P admet une unique extension linéaire continue de $L^p(\mathbf{T})$ dans $L^p(\mathbf{T})$ telle que $\mathscr{F}(\widetilde{f}) =\widetilde{\mathscr{F}}(f)$ pour tout $f\in L^p(\mathbf{T})$ (cf. exercice 8). (Pour $p\geqslant 2$, utiliser la question précédente et l’inégalité de M. Riesz (INT, IV, §6, exerc. 18) ; pour $1< p <2$, utiliser la dualité.)

c) Le résultat de la question précédente ne s’étend pas au cas $p= 1$. (Utiliser la question b) de l’exercice 30.)