Bài tập 38, § 1

Với mọi $n\in \mathbf{Z}$, ta ký hiệu $e_n$ là đặc trưng $x\mapsto e^{2i\pi nx}$ của $\mathbf{T}$. Ta ký hiệu P là không gian con của $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ sinh bởi các $e_n$.

Cho $a= (a_h)_{h\in\mathbf{Z}}$ là một họ các số phức. Họ liên hợp-hiều hòa là họ $\widetilde{a}= (-i$ s($h$)$a_h)_{h\in\mathbf{Z}}$, trong đó s($h$) ký hiệu hàm dấu.

Với $f\in P$, ta ký hiệu $\widetilde{f}\in P$ là hàm trên $\mathbf{T}$ sao cho $\mathscr{F}(\widetilde{f}) =\widetilde{\mathscr{F}}(f)$ (hàm liên hợp-hài hòa của $f$).

a) Cho $f\in P$ sao cho $\mathscr{F}(f)(0) = 0$ và sao cho $f$ có giá trị thực. Với mọi số nguyên $k\geqslant 1$, tồn tại một hằng $C_k$, độc lập với $f$, sao cho

(Quan sát rằng các hệ số Fourier của $g=f+i\widetilde{f}$ có giá trên $\mathbf{N}^*$, viết

và khai triển bằng cách sử dụng công thức nhị thức.)

b) Cho $1< p <+\infty$. Ánh xạ $f\mapsto \widetilde{f}$ từ P vào P thừa nhận một mở rộng tuyến tính liên tục duy nhất từ $L^p(\mathbf{T})$ vào $L^p(\mathbf{T})$ sao cho $\mathscr{F}(\widetilde{f}) =\widetilde{\mathscr{F}}(f)$ với mọi $f\in L^p(\mathbf{T})$ (xem bài tập 8). (Với $p\geqslant 2$, sử dụng câu hỏi trước và bất đẳng thức của M. Riesz (INT, IV, §6, exerc. 18); với $1< p <2$, sử dụng đối ngẫu.)

c) Kết quả của câu hỏi trước không mở rộng được tới trường hợp $p= 1$. (Sử dụng câu hỏi b) của bài tập 30.)