Exercice 39, § 1

Soit $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ une mesure de probabilité sur $\mathbf{R}$. La fonction caractéristique de $\nu$ est la fonction $\varphi_{\nu}$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{C}$ telle que

pour tout $x\in \mathbf{R}$.

a) Pour $\nu_1,\nu_2$ dans $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, on a $\nu_1=\nu_2$ si et seulement si $\varphi_{\nu_1}=\varphi_{\nu_2}$.

b) Pour $\nu_1,\nu_2$ dans $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, on a $\nu_1*\nu_2\in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ et $\varphi_{\nu_1*\nu_2}=\varphi_{\nu_1}\varphi_{\nu_2}$.

c) Soit $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$. La fonction $\varphi_{\nu}$ est bornée par 1 et uniformément continue sur $\mathbf{R}$.

d) Soit $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$. Pour tous nombres réels $a < b$, on a

$\nu (]a, b[) +\frac{1}{2}\nu (\{a, b\}) =$ lim$_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\varphi_{\nu}(x)\frac{e^{-ixa}-e^{-ixb}}{ix}dx$,

et en particulier la limite existe toujours. De plus, pour tout $T>0$, on a

T $_{-T}$

e) Soit $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de mesures de probabilité sur $\mathbf{R}$ convergeant étroitement (INT, IX, p. 59, déf. 1) vers une mesure $\nu$; alors $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ et $\varphi_{\nu_n}(x)$ converge vers $\varphi_{\nu}(x)$ pour tout $x\in \mathbf{R}$.

Soit $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de mesures de probabilité sur $\mathbf{R}$. On suppose que pour tout $x\in \mathbf{R}$, la suite $(\varphi_{\nu_n}(x))_n$ converge vers un nombre complexe $\varphi (x)$, et que la fonction $x\mapsto \varphi (x)$ est continue en 0.

f) Soit $\varepsilon >0$. Il existe $a >0$ tel que

pour tout entier $n\in \mathbf{N}$.

g) La suite $(\nu_n)$ est relativement compacte pour la topologie étroite.

h) La suite $(\nu_n)$ converge étroitement vers une mesure de probabilité $\nu$ dont $\varphi$ est la fonction caractéristique (« Théorème de continuité de P. Lévy »). i) Il existe des suites $(\nu_n)$ de mesures de probabilité sur $\mathbf{R}$, ne convergeant pas étroitement vers une mesure de probabilité, telles que $\varphi_{\nu_n}(x)$ converge pour tout $x\in \mathbf{R}$.