Bài tập 39, § 1

Cho $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ là một độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$. Hàm đặc số của $\nu$ là hàm $\varphi_{\nu}$ từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{C}$ sao cho

với mọi $x\in \mathbf{R}$.

a) Đối với $\nu_1,\nu_2$ trong $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, ta có $\nu_1=\nu_2$ khi và chỉ khi $\varphi_{\nu_1}=\varphi_{\nu_2}$.

b) Đối với $\nu_1,\nu_2$ trong $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, ta có $\nu_1*\nu_2\in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ và $\varphi_{\nu_1*\nu_2}=\varphi_{\nu_1}\varphi_{\nu_2}$.

c) Cho $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$. Hàm $\varphi_{\nu}$ bị chặn bởi 1 và liên tục đều trên $\mathbf{R}$.

d) Cho $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$. Với mọi số thực $a < b$, ta có

$\nu (]a, b[) +\frac{1}{2}\nu (\{a, b\}) =$ lim$_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\varphi_{\nu}(x)\frac{e^{-ixa}-e^{-ixb}}{ix}dx$,

và đặc biệt giới hạn luôn tồn tại. Hơn nữa, với mọi $T>0$, ta có

T $_{-T}$

e) Cho $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$ hội tụ hẹp (INT, IX, p. 59, déf. 1) tới một độ đo $\nu$; khi đó $\nu \in \mathscr{P}(\mathbf{R})$ và $\varphi_{\nu_n}(x)$ hội tụ tới $\varphi_{\nu}(x)$ với mọi $x\in \mathbf{R}$.

Cho $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$. Giả sử rằng với mọi $x\in \mathbf{R}$, dãy $(\varphi_{\nu_n}(x))_n$ hội tụ tới một số phức $\varphi (x)$, và hàm $x\mapsto \varphi (x)$ liên tục tại 0.

f) Cho $\varepsilon >0$. Tồn tại $a >0$ sao cho

với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$.

g) Dãy $(\nu_n)$ tương đối compact đối với tôpô hẹp.

h) Dãy $(\nu_n)$ hội tụ hẹp tới một độ đo xác suất $\nu$ mà $\varphi$ của nó là hàm đặc số (« Định lý liên tục của P. Lévy »). i) Tồn tại các dãy $(\nu_n)$ các độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$, không hội tụ hẹp tới một độ đo xác suất, sao cho $\varphi_{\nu_n}(x)$ hội tụ với mọi $x\in \mathbf{R}$.