Exercice 4, § 1

a) Soient $\alpha >0,h >0$, et $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ la fonction continue nulle hors de l’intervalle $]-\alpha , \alpha [$, linéaire dans $[-\alpha ,0]$ et $[0, \alpha ]$, égale à $h$ en 0. On a :

$\mathscr{F}(f)(t) =h_2$ sin$^2(_2\pi \alpha t)$

pour $t\in \mathbf{R}^*$.

b) Soit $N\in \mathbf{N}$. Posons $g(x) =\sum^N_{n=-N}f(x+n)$. Alors :

$\mathscr{F}(g)(t) =\frac{h}{\alpha \pi^2}$ sin$^2t(_2\pi \alpha t)$ sin((2N + 1)sin($\pi t$)$\pi t$)

pour $t\in \mathbf{R}^*$.

c) On choisit des suites $(\alpha_i)_{i\geqslant 1},(h_i)_{\geqslant 1},(N_i)_{i\geqslant 1}$, d’où, pour chaque entier $i$, une fonction $g_i$ construite par le procédé de b). Si $\sum_ih_i<+\infty$, la série $\sum_ig_i$ converge uniformément vers une fonction continue G sur $\mathbf{R}$.

d) Si

$\sum\alpha_ih_iN_i<+\infty ,\sum\frac{h_i}{\alpha_i}$ log $N_i<+\infty ,\sum h_iN_i= +\infty$,

$iii$

alors G et $\mathscr{F}(G)$ sont intégrables sur $\mathbf{R}$, mais

Montrer qu’il existe des exemples de telles suites.