Bài tập 4, § 1

a) Cho $\alpha >0,h >0$, và cho $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ là hàm liên tục bằng không bên ngoài khoảng $]-\alpha , \alpha [$, tuyến tính trên $[-\alpha ,0]$ và $[0, \alpha ]$, bằng $h$ tại 0. Ta có :

$\mathscr{F}(f)(t) =h_2$ sin$^2(_2\pi \alpha t)$

với $t\in \mathbf{R}^*$.

b) Cho $N\in \mathbf{N}$. Đặt $g(x) =\sum^N_{n=-N}f(x+n)$. Khi đó :

$\mathscr{F}(g)(t) =\frac{h}{\alpha \pi^2}$ sin$^2t(_2\pi \alpha t)$ sin((2N + 1)sin($\pi t$)$\pi t$)

với $t\in \mathbf{R}^*$.

c) Chọn các dãy $(\alpha_i)_{i\geqslant 1},(h_i)_{\geqslant 1},(N_i)_{i\geqslant 1}$, cho, với mỗi số nguyên $i$, một hàm $g_i$ được xây dựng theo quá trình của b). Nếu $\sum_ih_i<+\infty$, chuỗi $\sum_ig_i$ hội tụ đều đến một hàm liên tục G trên $\mathbf{R}$.

d) Nếu

$\sum\alpha_ih_iN_i<+\infty ,\sum\frac{h_i}{\alpha_i}$ log $N_i<+\infty ,\sum h_iN_i= +\infty$,

$iii$

thì G và $\mathscr{F}(G)$ khả tích trên $\mathbf{R}$, nhưng

Bây giờ chứng minh rằng tồn tại các ví dụ về những dãy như vậy.