Exercice 40, § 1

Soit $\nu$ une mesure de probabilité sur $\mathbf{R}$ telle que la fonction identique $x$ de $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\nu )$. Notons $m=\nu (x)\in \mathbf{R}$ et soit $\sigma \geqslant 0$ tel que $\sigma^2=\nu ((x-m)^2)$. On suppose $\sigma >0$.

a) Soit $f(t) = (t-m)/\sigma$. La mesure image $\mu=f(\nu )$ appartient à $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, elle vérifie $\mu(x) = 0$ et $\mu(x^2) = 1$.

b) Pour $n\geqslant 1$, soit $\mu^n=\mu* \cdots *\mu$ la $n$-ème puissance de convolution de $\mu$. La suite $(\mu^n)_{n\geqslant 1}$ converge étroitement vers la mesure de probabilité de densité

par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$, dite « loi gaussienne standard » (« Théorème limite fondamental de la théorie des probabilités » ; appliquer l’exercice précédent).

c) Soit $d\geqslant 2$ un nombre entier. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $s_n$ l’application de $[0,1]$ dans $\{0, . . . , d-1\}$ qui à $x$ associe le $n$-ème terme du développement de $x$ en base $d$, s’il est unique, ou le $n$-ème terme du développement limité de $x$ en base $d$, dans le cas contraire (TG, IV, p. 43, n$^o5$).

Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$. Notons $m_d= (d-1)/2$ et $\sigma_d=$ $\surd\overline{(d^2 - 1)/12}$. Pour tous nombres réels $a < b$, on a

lim$_{n\rightarrow+\infty}\lambda (\{x\in [0,1]|a <s_1(x) +\cdots \sigma +_d\surd s_n\overline{n}(x)-nm_d< b\})$