Bài tập 40, § 1

Cho $\nu$ là một độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$ sao cho hàm đồng nhất $x$ của $\mathbf{R}$ thuộc $L^2(\nu )$. Đặt $m=\nu (x)\in \mathbf{R}$ và gọi $\sigma \geqslant 0$ là số sao cho $\sigma^2=\nu ((x-m)^2)$. Ta giả sử rằng $\sigma >0$.

a) Gọi $f(t) = (t-m)/\sigma$. Độ đo ảnh $\mu=f(\nu )$ thuộc $\mathscr{P}(\mathbf{R})$, nó thỏa mãn $\mu(x) = 0$ và $\mu(x^2) = 1$.

b) Với $n\geqslant 1$, gọi $\mu^n=\mu* \cdots *\mu$ là lũy thừa xoắn $n$-th của $\mu$. Dãy $(\mu^n)_{n\geqslant 1}$ hội tụ hẹp đến độ đo xác suất có mật độ

đối với độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$, được gọi là “luật Gauss chuẩn” (“Định lý giới hạn cơ bản của lý thuyết xác suất”; áp dụng bài tập trước).

c) Gọi $d\geqslant 2$ là một số nguyên. Với mỗi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $s_n$ là ánh xạ của $[0,1]$ vào $\{0, . . . , d-1\}$ gán cho $x$ số hạng thứ $n$ của sự phát triển của $x$ theo cơ sở $d$, nếu nó là duy nhất, hoặc số hạng thứ $n$ của sự phát triển hữu hạn của $x$ theo cơ sở $d$, trong trường hợp ngược lại (TG, IV, p. 43, n$^o5$).

Gọi $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $[0,1]$. Đặt $m_d= (d-1)/2$ và $\sigma_d=$ $\surd\overline{(d^2 - 1)/12}$. Với mọi số thực $a < b$, ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}\lambda (\{x\in [0,1]|a <s_1(x) +\cdots \sigma +_d\surd s_n\overline{n}(x)-nm_d< b\})$