Exercice 41, § 1

Soit $\lambda \in \mathbf{R}^*_+$. On note $\varpi_{\lambda}$ la mesure discrète sur $\mathbf{R}$ supportée sur $\mathbf{N}$ telle que

$\varpi_{\lambda}(k) =e^{-\lambda}\lambda k^k$!

(« loi de Poisson de paramètre $\lambda$ »).

a) La mesure $\varpi_{\lambda}$ est une mesure de probabilité. Calculer la fonction caractéristique de $\varpi_{\lambda}$; montrer que la fonction identique $x$ de $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\mathbf{R}, \varpi_{\lambda})$ et calculer $\varpi (x),\varpi (x^2)$.

b) La famille de mesures

converge étroitement quand $\lambda \rightarrow +\infty$ vers la mesure gaussienne standard (cf. exercice précédent, b)).