Bài tập 41, § 1

Cho $\lambda \in \mathbf{R}^*_+$. Ta ký hiệu bởi $\varpi_{\lambda}$ độ đo rời rạc trên $\mathbf{R}$ có giá trên $\mathbf{N}$ sao cho

$\varpi_{\lambda}(k) =e^{-\lambda}\lambda k^k$!

(“luật Poisson với tham số $\lambda$”).

a) Độ đo $\varpi_{\lambda}$ là một độ đo xác suất. Tính hàm đặc trưng của $\varpi_{\lambda}$; bây giờ chứng minh rằng hàm đồng nhất $x$ của $\mathbf{R}$ thuộc $L^2(\mathbf{R}, \varpi_{\lambda})$ và tính $\varpi (x),\varpi (x^2)$.

b) Họ các độ đo

hội tụ yếu khi $\lambda \rightarrow +\infty$ về phía độ đo Gauss chuẩn (xem bài tập trước, b)).