Exercice 42, § 1

Soit $n\geqslant 2$ un entier. On note G le groupe $S_n$ muni de sa mesure de Haar $\mu_n$ de masse totale 1. Soit $\varpi : S_n\rightarrow \mathbf{R}$ l’application qui à $\sigma$ associe $a+b$, où $a$ est le nombre de cycles dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles disjoints (A, I, p. 60, prop. 7) et $b$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. On note $\nu_n$ la mesure image $\nu_n=\varpi (\mu_n)$ sur $\mathbf{R}$. C’est une mesure de probabilité.

a) La fonction caractéristique $\varphi_n$ de $\nu_n$ vérifie

$j=1$

pour tout $t\in \mathbf{R}$.

b) Soit $\varpi_n$ une loi de Poisson de paramètre log($n$) et $\psi_n$ sa fonction caractéristique. Quand $n\rightarrow +\infty$, on a

uniformément pour $t\in \mathbf{R}$. (Utiliser la formule de Gauss pour la fonction gamma, cf. FVR, VII, p. 11, formule (3).)

c) Soit $f_n(x) = (x-$ log($n$))$/\surd$log($n$) pour $x\in \mathbf{R}$. La suite de mesures $f_n(\mu_n)$ converge étroitement vers la loi gaussienne standard quand $n\rightarrow +\infty$.