Bài tập 42, § 1

Cho $n\geqslant 2$ là một số nguyên. Ta ký hiệu G là nhóm $S_n$ được trang bị độ đo Haar $\mu_n$ có khối lượng toàn phần 1. Gọi $\varpi : S_n\rightarrow \mathbf{R}$ là ánh xạ gán cho $\sigma$ số $a+b$, trong đó $a$ là số các chu trình trong phân tích của $\sigma$ thành tích của các chu trình rời nhau (A, I, p. 60, prop. 7) và $b$ là số các điểm bất động của $\sigma$. Ta ký hiệu $\nu_n$ là độ đo ảnh $\nu_n=\varpi (\mu_n)$ trên $\mathbf{R}$. Đây là một độ đo xác suất.

a) Hàm đặc số $\varphi_n$ của $\nu_n$ thỏa mãn

$j=1$

với mọi $t\in \mathbf{R}$.

b) Gọi $\varpi_n$ là một luật Poisson với tham số log($n$) và $\psi_n$ là hàm đặc số của nó. Khi $n\rightarrow +\infty$, ta có

đều theo $t\in \mathbf{R}$. (Sử dụng công thức của Gauss đối với hàm gamma, cf. FVR, VII, p. 11, công thức (3).)

c) Gọi $f_n(x) = (x-$ log($n$))$/\surd$log($n$) với $x\in \mathbf{R}$. Dãy các độ đo $f_n(\mu_n)$ hội tụ chặt đến luật Gauss chuẩn khi $n\rightarrow +\infty$.