Exercice 43, § 1

Soit $k\geqslant 1$ un entier. On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^k$. Soient $(\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de mesures de probabilité sur $\mathbf{R}^k$ et soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $\mathbf{R}^k$. Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) La transformée de Fourier de $\mu$ appartient à $L^1(\mathbf{R}^k)$ ;

(ii) Il existe une suite $(\sigma_n)$ dans GL($k,\mathbf{R}$) telle que la suite de mesures images $(\sigma_n(\mu_n))$ converge étroitement vers $\mu$;

(iii) Pour tout réel positif $\tau$, soit $\varphi_{n,\tau}$ la fonction caractéristique de l’ensemble des $t\in \mathbf{R}^k$ tels que $\|^t\sigma_n(t)\|\leqslant \tau$. On a

lim$_{a\rightarrow+\infty}$ sup$_{n\in\mathbf{N}}\int_{\|t\|\geqslant a}|\widehat{\mu}_n(^t\sigma_n(t))|\varphi_{n,\tau}(t)dt= 0$.

D’après l’exercice 5, la condition (i) implique que la mesure $\mu$ admet une densité continue $\psi$ par rapport à la mesure de Lebesgue. On note $\alpha =\psi (0)$. a) Soit $f\in \mathscr{C}_b(\mathbf{R}^k)$ une fonction intégrable telle que $\widehat{f}$ est à support compact. On a

lim$_{n\rightarrow+\infty}|$det($1\sigma_n$)$|\int_{\mathbf{R}^k}f \mu_n=\alpha \int_{\mathbf{R}^k}f$.

(Appliquer la formule de transposition de la transformation de Fourier.)

b) La formule de la question précédente est valide lorsque $f\in \mathscr{K}(\mathbf{R}^k)$. Pour tout sous-ensemble mesurable et borné $B\subset \mathbf{R}^k$ tel que la frontière de B est négligeable pour la mesure de Lebesgue, on a

lim$_{n\rightarrow+\infty}|$det($1\sigma_n$)$|\mu_n(B) =\alpha \lambda (B)$.

(Pour toute fonction $f\in \mathscr{K}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^k)$, et tout $\varepsilon >0$, il existe des fonctions intégrables $f_1$ et $f_2$ dont les transformées de Fourier sont à support compact et telles que $f_1\leqslant f\leqslant f_2$ et $\int(f_2-f_1)\leqslant \varepsilon .$)

c) Supposons que $\sigma^{-1}_n\rightarrow 0$ dans l’espace des matrices réelles de type $(k, k)$ et qu’il existe une fonction continue $\Phi :\mathbf{R}^k\rightarrow \mathbf{C}^*$ telle que

uniformément sur les parties compactes de $\mathbf{R}^k$. Alors les conditions ci-dessus sont satisfaites.

d) Prenons $k= 1$. Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $\mathbf{R}$ de base la mesure de Lebesgue telle que la fonction identique $x$ de $\mathbf{R}$ appartient à $L^2(\nu )$ et telle que $\mu(x) = 0$. Soit $\sigma \geqslant 0$ tel que $\sigma^2=\mu(x^2)$. On suppose $\sigma >0$. Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $\mu^n$ la $n$-ème puissance de convolution de $\mu$. Pour tout sous-ensemble mesurable borné $B\subset \mathbf{R}$ dont la frontière est de mesure nulle par rapport à la mesure de Lebesgue, on a

lim$_{n\rightarrow+\infty}\sigma \surd \overline{n}\mu^n(B) =2\surd 1\overline{\pi}\lambda (B)$

(« théorème limite fondamental local »).