Bài tập 43, § 1

Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi $\lambda$ độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^k$. Cho $(\mu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các độ đo xác suất trên $\mathbf{R}^k$ và cho $\mu$ là một độ đo xác suất trên $\mathbf{R}^k$. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Biến đổi Fourier của $\mu$ thuộc $L^1(\mathbf{R}^k)$ ;

(ii) Tồn tại một dãy $(\sigma_n)$ trong GL($k,\mathbf{R}$) sao cho dãy các ảnh độ đo $(\sigma_n(\mu_n))$ hội tụ hẹp tới $\mu$;

(iii) Với mọi số thực dương $\tau$, gọi $\varphi_{n,\tau}$ là hàm đặc trưng của tập hợp các $t\in \mathbf{R}^k$ sao cho $\|^t\sigma_n(t)\|\leqslant \tau$. Ta có

lim$_{a\rightarrow+\infty}$ sup$_{n\in\mathbf{N}}\int_{\|t\|\geqslant a}|\widehat{\mu}_n(^t\sigma_n(t))|\varphi_{n,\tau}(t)dt= 0$.

Theo Bài tập 5, điều kiện (i) suy ra rằng độ đo $\mu$ có một mật độ liên tục $\psi$ đối với độ đo Lebesgue. Ta ký hiệu $\alpha =\psi (0)$. a) Cho $f\in \mathscr{C}_b(\mathbf{R}^k)$ là một hàm khả tích sao cho $\widehat{f}$ có giá compact. Ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}|$det($1\sigma_n$)$|\int_{\mathbf{R}^k}f \mu_n=\alpha \int_{\mathbf{R}^k}f$.

(Hãy áp dụng công thức chuyển vị cho biến đổi Fourier.)

b) Công thức của câu hỏi trước vẫn đúng khi $f\in \mathscr{K}(\mathbf{R}^k)$. Với mọi tập con đo được và bị chặn $B\subset \mathbf{R}^k$ sao cho biên của B là không đáng kể đối với độ đo Lebesgue, ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}|$det($1\sigma_n$)$|\mu_n(B) =\alpha \lambda (B)$.

(Với mọi hàm $f\in \mathscr{K}_{\mathbf{R}}(\mathbf{R}^k)$, và mọi $\varepsilon >0$, tồn tại các hàm khả tích $f_1$ và $f_2$ mà các biến đổi Fourier có giá compact và sao cho $f_1\leqslant f\leqslant f_2$ và $\int(f_2-f_1)\leqslant \varepsilon .$)

c) Giả sử rằng $\sigma^{-1}_n\rightarrow 0$ trong không gian các ma trận thực kiểu $(k, k)$ và rằng tồn tại một hàm liên tục $\Phi :\mathbf{R}^k\rightarrow \mathbf{C}^*$ sao cho

đều trên các tập con compact của $\mathbf{R}^k$. Khi đó các điều kiện trên được thỏa mãn.

d) Lấy $k= 1$. Cho $\mu$ là một độ đo xác suất trên $\mathbf{R}$ với cơ sở là độ đo Lebesgue sao cho hàm đồng nhất $x$ của $\mathbf{R}$ thuộc $L^2(\nu )$ và sao cho $\mu(x) = 0$. Cho $\sigma \geqslant 0$ sao cho $\sigma^2=\mu(x^2)$. Ta giả sử rằng $\sigma >0$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, gọi $\mu^n$ là lũy thừa chập thứ $n$ của $\mu$. Với mọi tập con đo được bị chặn $B\subset \mathbf{R}$ mà biên có độ đo không đối với độ đo Lebesgue, ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}\sigma \surd \overline{n}\mu^n(B) =2\surd 1\overline{\pi}\lambda (B)$

(“định lý giới hạn địa phương cơ bản”).