Exercice 44, § 1

Soit $I = [a, b]$ un intervalle compact de $\mathbf{R}$. Soit $f$ une fonction continue de I dans $\mathbf{R}^2$ qui est injective sur l’intérieur de I, et qui est $C^1$ par morceaux (c’est-à-dire qu’il existe une partition finie de I en intervalles J tels que $f|J$ est différentiable, et $f(f|J)'$ est continue). On dit que $f$ est une courbe paramétrée dans le plan. On dit que

(où $f'(t)$ est identifié à un nombre complexe) est la longueur de la courbe paramétrée $f$. Si de plus $f(a) =f(b)$, on dit que $f$ définit une courbe de Jordan. Il existe alors une unique composante connexe bornée C de $\mathbf{R}^2-f(I)$ (TA, à paraître). La mesure de Lebesgue de C est appelée l’aire circonscrite par la courbe de Jordan $f$, et notée $A(f)$.

a) Supposons que $f$ est une courbe de Jordan. Pour tout $t\in I$, la restriction $f_t$ de $f$ à $[a, t]$ est une courbe paramétrée et la fonction $s:t\mapsto \ell (f_t)$ est une bijection strictement croissante de I dans $J = [0, \ell (f)]$. La fonction $g=$ $f\circ s^{-1}: J\rightarrow \mathbf{R}^2$ est une courbe de Jordan, et pour tout $t\in J$, on a $\ell (g_t) =t$. b) Soit $f= (f_1, f_2)$ une courbe de Jordan. On a

2 $_I$

où l’intégrale est par rapport à la mesure de Lebesgue sur I. (Appliquer la formule de Stokes.) De plus, on a $A(g) = A(f)$, où $g$ est la fonction de la question a).

c) On a $4\pi A(f)\leqslant \ell (f)^2$ (« inégalité isopérimétrique dans le plan »). (Se ramener au cas où $\ell (f) = 1$ ; considérer la série de Fourier des parties réelles et imaginaires de $g$ et montrer que $|g'(t)|^2= 1$ pour $t\in J$.)

d) Si $4\pi A(f) =\ell (f)^2$, alors l’image de $f$ est un cercle dans $\mathbf{R}^2$.