Bài tập 44, § 1

Cho $I = [a, b]$ là một khoảng compact của $\mathbf{R}$. Cho $f$ là một hàm liên tục từ I vào $\mathbf{R}^2$ đơn ánh trên phần trong của I, và là từng khúc $C^1$ (nghĩa là tồn tại một phân hoạch hữu hạn của I thành các khoảng J sao cho $f|J$ khả vi, và $f(f|J)'$ liên tục). Người ta nói rằng $f$ là một đường cong tham số trong mặt phẳng. Người ta nói rằng

(trong đó $f'(t)$ được đồng nhất với một số phức) là độ dài của đường cong tham số $f$. Nếu hơn nữa $f(a) =f(b)$, người ta nói rằng $f$ xác định một đường cong Jordan. Khi đó tồn tại một thành phần liên thông bị chặn duy nhất C của $\mathbf{R}^2-f(I)$ (TA, xuất hiện). Độ đo Lebesgue của C được gọi là diện tích bao bởi đường cong Jordan $f$, và được ký hiệu bởi $A(f)$.

(a) Giả sử rằng $f$ là một đường cong Jordan. Với mọi $t\in I$, hạn chế $f_t$ của $f$ lên $[a, t]$ là một đường cong tham số và hàm $s:t\mapsto \ell (f_t)$ là một song ánh tăng ngặt từ I lên $J = [0, \ell (f)]$. Hàm $g=$ $f\circ s^{-1}: J\rightarrow \mathbf{R}^2$ là một đường cong Jordan, và với mọi $t\in J$, ta có $\ell (g_t) =t$. (b) Cho $f= (f_1, f_2)$ là một đường cong Jordan. Ta có

2 $_I$

trong đó tích phân lấy theo độ đo Lebesgue trên I. (Áp dụng công thức Stokes.) Hơn nữa, ta có $A(g) = A(f)$, trong đó $g$ là hàm của câu hỏi a).

(c) Ta có $4\pi A(f)\leqslant \ell (f)^2$ (“bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng”). (Rút gọn về trường hợp $\ell (f) = 1$; xét chuỗi Fourier của các phần thực và ảo của $g$ và bây giờ chứng minh rằng $|g'(t)|^2= 1$ với $t\in J$.)

(d) Nếu $4\pi A(f) =\ell (f)^2$, thì ảnh của $f$ là một đường tròn trong $\mathbf{R}^2$.