Exercice 45, § 1

Pour tout nombre réel $h >0$, soit $\Delta_h$ la fonction continue sur $\mathbf{R}$ telle que $\Delta_h(t) = 0$ si $|t|> h$ et $\Delta_h(t) = 1- |t|/h$ pour $t\in [-h, h]$.

a) La famille dans $\mathscr{C}([0,1])$ formée des fonctions $f_0= 1,f_1:t\mapsto t$, et des fonctions

pour $k\geqslant 1$ et $0\leqslant l <2^{k-1}$ est une base banachique de l’espace de Banach $\mathscr{C}([0,1])$ (cf. EVT, IV, p. 70, exerc. 14). Plus précisément, pour tout $f\in$ $\mathscr{C}([0,1])$, on a

$k\geqslant 10\leqslant l<2^{k-1}$

dans $\mathscr{C}([0,1])$.

b) La famille des fonctions $t\mapsto e^{2i\pi ht}$ pour $h\in \mathbf{Z}$ n’est pas une base banachique de l’espace des fonctions $f\in \mathscr{C}([0,1])$ telles que $f(0) =f(1)$.