Bài tập 45, § 1

Với mọi số thực $h >0$, gọi $\Delta_h$ là hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ sao cho $\Delta_h(t) = 0$ nếu $|t|> h$ và $\Delta_h(t) = 1- |t|/h$ với $t\in [-h, h]$.

a) Họ trong $\mathscr{C}([0,1])$ gồm các hàm $f_0= 1,f_1:t\mapsto t$, và các hàm

với $k\geqslant 1$ và $0\leqslant l <2^{k-1}$ là một cơ sở Banach của không gian Banach $\mathscr{C}([0,1])$ (xem EVT, IV, p. 70, exerc. 14). Chính xác hơn, với mọi $f\in$ $\mathscr{C}([0,1])$, ta có

$k\geqslant 10\leqslant l<2^{k-1}$

trong $\mathscr{C}([0,1])$.

b) Họ các hàm $t\mapsto e^{2i\pi ht}$ với $h\in \mathbf{Z}$ không phải là một cơ sở Banach của không gian các hàm $f\in \mathscr{C}([0,1])$ sao cho $f(0) =f(1)$.