Exercice 46, § 1

Pour tout entier $k\geqslant 0$, soit $D_k\subset [0,1]$ l’ensemble des nombres $j/2^k$ pour $0\leqslant j\leqslant 2^k$ entier. Soit D la réunion des ensembles $D_k$ pour $k\geqslant 0$. Pour tout $k\geqslant 1$, et tout $t\in D_{k+1}-D_k$, notons $t_+$ (resp. $t_-$) le plus petit élément de $D_{k+1}$ tel que $t < t_+$ (resp. le plus grand élément de $D_{k+1}$ tel que $t_-< t$); $t_+$ et $t_-$ appartiennent à $D_k$.

a) Soit $\sigma : D\rightarrow [0,1]$ une fonction strictement croissante telle que $\sigma (0) = 0$ et $\sigma (1) = 1$, dont l’image est dense dans $[0,1]$. Alors il existe un unique homéomorphisme strictement croissant de $[0,1]$ dans lui-même qui prolonge $\sigma$.

Soit $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction continue. On appelle ébauche de niveau $k$ de $f$ une application strictement croissante $\sigma : D_k\rightarrow [0,1]$ telle que $\sigma (0) = 0$, $\sigma (1) = 1$ et telle que pour tout entier $j$ tel que $0\leqslant j <2^k$, on ait l’une des conditions suivantes :

(i) $f(\sigma (j/2^k))\not=f(\sigma ((j+ 1)/2^k))$;

(ii) il existe un intervalle ouvert I contenu dans $]\sigma (j/2^k), \sigma (j+ 1)/2^k[$ tel que, pour tout $t\in I$, on ait

On note $t_{\sigma}$ le plus petit élément strictement positif de $D_k$ tel que

inf $|\sigma (t_{\sigma})-\sigma (t')|=$ sup inf $|\sigma (t)-\sigma (t')|$.

$t'<t_{\sigma}t\in D_kt'<t$

On dit qu’une ébauche $\tau$ de niveau $k+ 1$ est une bonne extension d’une ébauche $\sigma$ de niveau $k$ si $\tau$ prolonge $\sigma$ et si, pour tout $t\in D_{k+1}-D_k$, on a

1

2

si $t_-\not=t_{\sigma}$.

b) Il existe un homéomorphisme croissant $\sigma$ de $[0,1]$ dans lui-même tel que

(i) Pour tout entier $k\geqslant 1$, la restriction $\sigma_k$ de $\sigma$ à $D_k$ est une ébauche de niveau $k$;

(ii) Pour tout entier $k\geqslant 1$, l’application $\sigma_{k+1}$ est une bonne extension de $\sigma_k$.

c) On suppose que $f(0) =f(1)$. Notons $\sigma$ l’homéomorphisme croissant de $[0,1]$ défini par une application $\sigma : D\rightarrow [0,1]$ vérifiant les conditions de la question précédente. Il existe une constante $C\geqslant 0$ telle que la fonction continue $f\circ \sigma$, identifiée à une fonction continue sur $\mathbf{T}$, vérifie

pour tout $n\in \mathbf{Z}-\{0\}$ (« Théorème de Sahakyan » ; utiliser l’exercice 2 de II, p. 262 et l’exercice précédent.) d) $\P$ Il existe un homéomorphisme croissant $\sigma$ de $[0,1]$ dans lui-même tel que la série de Fourier de $f\circ \sigma$ converge symétriquement dans $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ (« Théorème de Bohr-Pál »).

e) $\P \P$ Le théorème de Sahakyan vaut-il pour les fonctions continues à valeurs complexes ?

f) $\P \P$ Existe-t-il une fonction $f:\mathbf{R}/\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ dont l’image est d’intérieur non vide et qui vérifie la condition sup$_{h\in\mathbf{Z}-\{0\}}|h||\widehat{f}(h)|<+\infty$?