Bài tập 46, § 1

Với mọi số nguyên $k\geqslant 0$, cho $D_k\subset [0,1]$ là tập hợp các số $j/2^k$ với $j$ là số nguyên sao cho $0\leqslant j\leqslant 2^k$. Cho D là hợp của các tập hợp $D_k$ với $k\geqslant 0$. Với mọi $k\geqslant 1$, và mọi $t\in D_{k+1}-D_k$, ta ký hiệu $t_+$ (tương ứng $t_-$) là phần tử nhỏ nhất của $D_{k+1}$ sao cho $t < t_+$ (tương ứng phần tử lớn nhất của $D_{k+1}$ sao cho $t_-< t$); $t_+$ và $t_-$ thuộc $D_k$.

a) Cho $\sigma : D\rightarrow [0,1]$ là một hàm tăng ngặt sao cho $\sigma (0) = 0$ và $\sigma (1) = 1$, có ảnh trù mật trong $[0,1]$. Khi đó tồn tại một duy nhất đồng phôi tăng ngặt của $[0,1]$ lên chính nó mở rộng $\sigma$.

Cho $f: [0,1]\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm liên tục. Một phác thảo mức $k$ của $f$ là một ánh xạ tăng ngặt $\sigma : D_k\rightarrow [0,1]$ sao cho $\sigma (0) = 0$, $\sigma (1) = 1$ và sao cho với mọi số nguyên $j$ thỏa mãn $0\leqslant j <2^k$, một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) $f(\sigma (j/2^k))\not=f(\sigma ((j+ 1)/2^k))$;

(ii) tồn tại một khoảng mở I được chứa trong $]\sigma (j/2^k), \sigma (j+ 1)/2^k[$ sao cho, với mọi $t\in I$, ta có

Ta ký hiệu $t_{\sigma}$ là phần tử dương ngặt nhỏ nhất của $D_k$ sao cho

inf $|\sigma (t_{\sigma})-\sigma (t')|=$ sup inf $|\sigma (t)-\sigma (t')|$.

$t'<t_{\sigma}t\in D_kt'<t$

Một phác thảo mức $k+ 1$ $\tau$ được gọi là một mở rộng tốt của một phác thảo mức $k$ $\sigma$ nếu $\tau$ mở rộng $\sigma$ và nếu, với mọi $t\in D_{k+1}-D_k$, ta có

1

2

nếu $t_-\not=t_{\sigma}$.

b) Tồn tại một đồng phôi tăng $\sigma$ của $[0,1]$ lên chính nó sao cho

(i) Với mọi số nguyên $k\geqslant 1$, hạn chế $\sigma_k$ của $\sigma$ lên $D_k$ là một phác thảo mức $k$;

(ii) Với mọi số nguyên $k\geqslant 1$, ánh xạ $\sigma_{k+1}$ là một mở rộng tốt của $\sigma_k$.

c) Giả sử rằng $f(0) =f(1)$. Ký hiệu $\sigma$ là phép đồng phôi tăng của $[0,1]$ được xác định bởi một ánh xạ $\sigma : D\rightarrow [0,1]$ thỏa mãn các điều kiện của câu hỏi trước. Tồn tại một hằng số $C\geqslant 0$ sao cho hàm liên tục $f\circ \sigma$, được đồng nhất với một hàm liên tục trên $\mathbf{T}$, thỏa mãn

với mọi $n\in \mathbf{Z}-\{0\}$ (“Định lý Sahakyan”; sử dụng Bài tập 2 của II, p. 262 và bài tập trước.) d) $\P$ Tồn tại một phép đồng phôi tăng $\sigma$ của $[0,1]$ lên chính nó sao cho chuỗi Fourier của $f\circ \sigma$ hội tụ đối xứng trong $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ (“Định lý Bohr-Pál”).

e) $\P \P$ Định lý Sahakyan có đúng đối với các hàm liên tục nhận giá trị phức không?

f) $\P \P$ Có tồn tại một hàm $f:\mathbf{R}/\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{C}$ có ảnh chứa một tập mở khác rỗng và thỏa mãn điều kiện sup$_{h\in\mathbf{Z}-\{0\}}|h||\widehat{f}(h)|<+\infty$ không?