Exercice 47, § 1

Soient X un espace topologique localement compact et $\mu$ une mesure de probabilité sur X. Soit $(f_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ une famille orthonormale dans $L^2(X, \mu)$. Soit $(a_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ une suite de nombres complexes telle que la famille $(a_n$ log($n$))$_{n\in\mathbf{N}^*}$ appartient à $\ell^2(\mathbf{N}^*)$.

Pour tout ensemble fini d’entiers I, on note

et on écrit aussi $s_n=s_{\{1,...,n\}}$.

a) Soit $N\geqslant 1$. Il existe une famille $\mathscr{I}$ d’intervalles non vides de $\{1, . . . ,N\}$ et une constante $C\geqslant 0$, indépendante de N, vérifiant les conditions suivantes :

(i) Tout intervalle de $\{1, . . . ,N\}$ de la forme $I =\{1, . . . ,M\}$ est réunion disjointe d’au plus C log(M + 1) intervalles dans $\mathscr{I}$;

(ii) Tout entier $n\in \{1, . . . ,N\}$ appartient à au plus C log(N + 1) intervalles dans $\mathscr{I}$.

b) Il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $N\in \mathbf{N}^*$, on a

$\int_X($sup$_{1\leqslant n\leqslant N}|s_n|^2)d\mu\leqslant C\sum_{n=1}^N|a_n|^2$.

(Soit $\tau (x)$ le plus petit entier $\leqslant N$ tel que sup$_{1\leqslant n\leqslant N}|s_n(x)|=|s_{\tau(x)}(x)|$, et soit $S(x) =s_{\tau(x)}(x)$. Soit $\mathscr{I}$ une famille d’intervalles comme dans la question précédente ; écrire

où $\mathscr{J}$ est une famille disjointe d’intervalles dans $\mathscr{I}$, puis appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)

c) Pour $j\in \mathbf{N}^*$, on pose

La série de terme général $(j+ 1)|S_j|^2$ converge $\mu$-presque partout dans X. d) La suite $(s_{2^j}(x))_{j\in\mathbf{N}^*}$ est une suite de Cauchy pour $\mu$-presque tout $x\in X$. Notons $f(x)$ sa limite, définie $\mu$-presque partout. e) La suite $(s_n(x))_{n\in\mathbf{N}^*}$ converge vers $f(x)$ pour $\mu$-presque tout $x\in X$.

f) Soit $f\in L^1(\mathbf{T})$ telle que

$\sum_{h\in\mathbf{Z}}$ log($|h|+ 1$)$^2|\widehat{f}(h)|^2<+\infty$.

Pour presque tout $x$, la série de Fourier de $f$ en $x$ converge symétriquement vers $f(x)$ (« théorème de Rademacher-Menshov »).