Bài tập 47, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô compact địa phương và $\mu$ là một độ đo xác suất trên X. Cho $(f_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ là một họ trực chuẩn trong $L^2(X, \mu)$. Cho $(a_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ là một dãy số phức sao cho họ $(a_n$ log($n$))$_{n\in\mathbf{N}^*}$ thuộc $\ell^2(\mathbf{N}^*)$.

Với mọi tập hợp hữu hạn các số nguyên I, ta ký hiệu

và ta cũng viết $s_n=s_{\{1,...,n\}}$.

a) Cho $N\geqslant 1$. Tồn tại một họ $\mathscr{I}$ các khoảng khác rỗng của $\{1, . . . ,N\}$ và một hằng số $C\geqslant 0$, độc lập với N, thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Mọi khoảng của $\{1, . . . ,N\}$ có dạng $I =\{1, . . . ,M\}$ là một hợp rời nhau của nhiều nhất C log(M + 1) khoảng trong $\mathscr{I}$;

(ii) Mọi số nguyên $n\in \{1, . . . ,N\}$ thuộc vào nhiều nhất C log(N + 1) khoảng trong $\mathscr{I}$.

b) Tồn tại một hằng số $C>0$ sao cho với mọi $N\in \mathbf{N}^*$, ta có

$\int_X($sup$_{1\leqslant n\leqslant N}|s_n|^2)d\mu\leqslant C\sum_{n=1}^N|a_n|^2$.

(Gọi $\tau (x)$ là số nguyên nhỏ nhất $\leqslant N$ sao cho sup$_{1\leqslant n\leqslant N}|s_n(x)|=|s_{\tau(x)}(x)|$, và gọi $S(x) =s_{\tau(x)}(x)$. Gọi $\mathscr{I}$ là một họ các khoảng như trong câu hỏi trước; viết

trong đó $\mathscr{J}$ là một họ rời nhau các khoảng trong $\mathscr{I}$, rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.)

c) Với $j\in \mathbf{N}^*$, đặt

Chuỗi có số hạng tổng quát $(j+ 1)|S_j|^2$ hội tụ hầu khắp nơi theo $\mu$ trong X. d) Dãy $(s_{2^j}(x))_{j\in\mathbf{N}^*}$ là một dãy Cauchy với hầu mọi $x\in X$ theo $\mu$. Gọi $f(x)$ là giới hạn của nó, được xác định hầu khắp nơi theo $\mu$. e) Dãy $(s_n(x))_{n\in\mathbf{N}^*}$ hội tụ tới $f(x)$ với hầu mọi $x\in X$ theo $\mu$.

f) Cho $f\in L^1(\mathbf{T})$ sao cho

$\sum_{h\in\mathbf{Z}}$ log($|h|+ 1$)$^2|\widehat{f}(h)|^2<+\infty$.

Với hầu mọi $x$, chuỗi Fourier của f tại x hội tụ đối xứng tới $f(x)$ (“định lý Rademacher-Menshov”).