Exercice 48, § 1

a) Soit $p\in [1,+\infty [$. Un sous-ensemble X de $L^p(\mathbf{R})$ est relativement compact, si et seulement si il est borné, et vérifie les conditions

lim$_{y\rightarrow 0}$ sup$_{f\in X}\|\boldsymbol{\gamma }(y)f-f\|_p= 0$

lim$_{R\rightarrow+\infty}$ sup$_{f\in X}\|(1-\varphi_R)f\|_p= 0$,

où $\varphi_R$ est la fonction caractéristique de l’intervalle $[-R,R]$ (cf. INT, VIII, p. 205, exercice 26).

b) Soit X une partie bornée de $L^2(\mathbf{R})$. Démontrer que X est précompacte si et seulement si

lim$_{R\rightarrow+\infty}$ sup$_{f\in X}\int_{\mathbf{R}}(1-\varphi_R)(|f|^2+|\widehat{f}|^2)dx= 0$.

c) Soit $(f_n)$ une suite dans $L^2(\mathbf{R})$ orthonormale dans $L^2(\mathbf{R})$ telle que sup$_n|f_n|$ appartient à $L^2(\mathbf{R})$. Alors sup$_n|\widehat{f}_n|$ n’appartient pas à $L^2(\mathbf{R})$.